Applications de la th´ eorie des graphes ` a des objets musicaux : mod´ elisati

Applications de la th´ eorie des graphes ` a des objets musicaux : mod´ elisations, visualisations en hyperespace Gilles Baroin To cite this version: Gilles Baroin. Applications de la th´ eorie des graphes ` a des objets musicaux : mod´ elisations, visualisations en hyperespace. Musique, musicologie et arts de la sc` ene. Universit´ e Toulouse le Mirail - Toulouse II, 2011. Fran¸ cais. <NNT : 2011TOU20120>. <tel-00943407> HAL Id: tel-00943407 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00943407 Submitted on 7 Feb 2014 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destin´ ee au d´ epˆ ot et ` a la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publi´ es ou non, ´ emanant des ´ etablissements d’enseignement et de recherche fran¸ cais ou ´ etrangers, des laboratoires publics ou priv´ es. &OWVFEFMPCUFOUJPOEV %0$503"5%&-6/*7&34*5²%&506-064& %ÏMJWSÏQBS 1SÏTFOUÏFFUTPVUFOVFQBS -F 5Jtre :  6OJUÏEFSFDIFSDIF %JSFDUFVS T EFʾÒTF 3BQQPSUFVST "VUSF T NFNCSF T EVKVSZ  5)µ4& École doctorale et discipline ou spécialité : Université Toulouse 2 Le Mirail (UT2 Le Mirail) ED ALLPH@ : Musique Gilles BAROIN 5 décembre 2011 Applications de la théorie des graphes à des objets musicaux. Modélisations, visualisations en hyperespace Lettres, Langues et Arts (LLA Créatis) Louis FERRÉ, Professeur Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT) Jean-Michel COURT, MDC en Musicologie (LLA Créatis - Université Toulouse 2) Moreno ANDREATTA, HDR Mathématiques, CNRS, Ircam - Paris Arnaud PÊCHER, Professeur, Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique (LaBRI) Emmanuel AMIOT, Docteur en Sciences de l'Informatique, CPGE - Perpignan Image de couverture : Le modèle Planet-4D, Gilles Baroin 2011. “I suppose one might find it necessary to pass into the fourth dimension”1 Deux garçons de treize ans sont allongés dans des lits placés côte à côte, convalescents de la grippe qui les a confinés dans cette chambre de malade. "Coxeter, comment penses-tu que le voyage dans le temps deviendra possible ?" demande John Petrie, l’un des deux garçons. "Tu veux dire comme dans H. G. Wells ?" répond Donald Coxeter, l’autre garçon. L’œuvre classique de science-fiction écrite par H. G. Wells, "La Machine à explorer le temps", est un sujet de conversation populaire. Les deux garçons croient que le voyage à travers le temps finira par devenir possible. Après quelques instants Coxeter répond : "Je pense qu’il sera nécessaire de passer dans la quatrième dimension." C'est à cette époque que Coxeter commence à former les idées concernant les géométries des dimensions supérieures qu’il développera plus tard.2 1 "Je pense qu’il sera nécessaire de passer dans la quatrième dimension". 2 Texte issu de la biographie de Coxeter (Shell, 2001) reproduit avec l’aimable autorisation de l’auteur. Remerciements Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à l’encontre de mes directeurs de thèse, des membres du jury et rapporteurs, ainsi qu’envers toutes les personnes, artistes, chercheurs ou administratifs qui m’ont soutenu et supporté, dans ce travail. Et plus personnellement : ma famille, Denise, Marie-Laure et Garance, qui ont supporté un thésard vivant dans une autre dimension, et feu mon père, Guy, qui me mis aux maths et à la flûte tout petit. Les musiciens et autres artistes Jean Luc Amestoy qui m’a relu et fait la gentillesse de tester les modèles. Laval "Thelonious" Fabien, le pianiste qui "pense avec les chiffres" et a testé mes modèles avec entrain. Charles Giulioli, peintre numérique, complice et complément, pour notre collaboration de longue date. HerrZ, mon ami poète, que j’ai fait souffrir avec la musique électronique. Pierre Jodlowski, pour ses conseils spécialisés et pertinents. Renaud le Luron, pour son soutien amical et logistique. Anne Ribout qui a créé ma première sculpture 4D. Raimond Sainflou, pour ses conseils professionnels en vidéo. Claude Sauvage, pour ses précisions concernant le monde de l’accordéon. Marco Toledo, qui m’a encouragé dès le début et a découvert les intérêts pédagogiques de mes travaux. Driss de Toulouse et Akufen qui se sont prêtés à la dure expérience des mathématiques dans le Rap et la Techno. Enfin, Les musiciens de "Parler Flûtes" ainsi que tous ceux qui ont eu la patience de tester mes systèmes : Mel Dogman, Kedi, Swai, Venus, ainsi que les petits et grands visiteurs des musées et expositions où le modèle Planet a été présenté. Les mathématiciens et autres scientifiques Romain Boulet, pour ses idées circulantes et efficaces. Charles Delorme, pour ses conseils et son travail de référence sur Cayley Louis Ferré, mon directeur de thèse coté math, pour son soutien précieux et continu, qui m’a converti aux graphes et surtout à la théorie spectrale, me permettant ainsi de pourvoir publier dans ce milieu. Etienne Fieux, pour son assistance exceptionnelle et le bon temps passé à démonter des graphes ou les plonger dans des dimensions inattendues. Manfred Koob†, le professeur d’architecture dont je fus l’assistant et dont le regard se faisait sentir lors de la modélisation. Yannis Manoussakis qui m’a offert la possibilité de "mettre des graphes en musique" à Paris et à Orsay. Arnaud Pêcher, qui m’a intégré au groupe de travail graphes et optimisation, et m’a invité à présenter mes travaux pour la première fois en milieu universitaire devant des mathématiciens. Pour ses connaissances dans le domaine très pointu des graphes circulants. Jean Michel Rocard, pour sa gentillesse et ses éclaircissements concernant Newton. 6 | Gilles Baroin – Applications de la théorie des graphes à des objets musicaux. Les professeurs du laboratoire Jésus Aguila qui m’a orienté au début de mes recherches. Jean-Michel Court, mon directeur de recherche côté musique, qui m’a fait confiance, pour son dévouement et la direction innovante qu’il a donnée à mon travail en l’ouvrant au monde atonal. Alexandra Dardenay, pour ses conseils rédactionnels et la relecture. François Charles Gaudard, qui m’a donné l’idée de faire une thèse. Michel Lehmann, pour son assistance et son accueil attentionnés. Monique Martinez, pour son soutien cordial, administratif, précieux. Philippe Ortel, pour nos échanges poétiques et amicaux entre image, littérature et mathématiques. Arnaud Rykner, pour ses encouragements et son soutien administratif sans faille dans les moments difficiles. Robert Sablayrolles, ami archéologue, pour son soutien, ses encouragements depuis le tout premier jour, et sa relecture. Enfin, pour l’ambiance pluridisciplinaire et amicale, je remercie les collègues étudiants musicologues, informaticiens, ou mathématiciens, … Les mathémusiciens Carlos Agon, pour ses encouragements amicaux et efficaces, et ses inoubliables : "papel, papel, papel." Giovanni Albini, pour sa collaboration enthousiaste et amicale. Emmanuel Amiot, pour ses conseils et encouragements, et ses réponses rapides et précises à mes questions mathématiques parfois insolites. Moreno Andreatta, pour son accueil à l’Ircam et le temps qu’il m’a consacré lors des séminaires Mamux ; ses conseils précieux qui m’ont orienté, et la confiance qu’il m’a témoignée en m’invitant au palais. Richard Cohn pour nos échanges et les idées qui m’ont entraîné vers de nouvelles directions. Jack Douthett, pour son attention et ses célèbres graphes qui m’ont inspiré. John Mandereau, pour nos échanges mathémusicamicaux et sa relecture. Dmitri Tymoczko, pour le temps qu’il m’a consacré, ses critiques et ses modèles géométriques fascinants. Enfin, pour leurs conseils, souvent très simples mais toujours pertinents, je remercie aussi : David Clampitt, Xavier Hascher, Julian Hook, Thomas Fiore, Guerino Mazzola et Thomas Noll. Sommaires | 7 Sommaire 1 INTRODUCTION ............................................................................................................................... 17 1.1. CADRE DE L’ETUDE .......................................................................................................................... 19 1.1.1. Finalité ..................................................................................................................................................... 20 1.1.2. Interprétations........................................................................................................................................22 1.1.3. Limites du modèle théorique ............................................................................................................. 23 1.1.4. Symétrie .................................................................................................................................................. 24 1.1.5. Progressions ............................................................................................................................................. 25 1.1.6. Langage .................................................................................................................................................. 26 1.1.7. Conclusions concernant le cadre ....................................................................................................... 26 1.1.8. Nouveautés et intérêts de cette étude ............................................................................................ 27 1.2. ASPECTS SPECIFIQUES DISCIPLINAIRES.......................................................................................... 27 1.2.1. Aspects musicaux ................................................................................................................................... 27 1.2.2. Aspects mathématiques .................................................................................................................... 29 1.2.3. Aspects linguistiques et sémiotiques ................................................................................................ 32 1.3. DEFINITIONS PROPRES A CE MEMOIRE .......................................................................................... 34 2 ETUDE MATHEMATIQUE .............................................................................................................. 38 2.1. MODELISATION PAR LA THEORIE DES GRAPHES ......................................................................... 40 2.1.1. Rappel des conditions ......................................................................................................................... 40 2.1.2. Notions élémentaires nécessaires à la démonstration ............................................................... 40 2.1.3. Traduction des conditions en termes de graphe .......................................................................... 47 2.1.4. Décomposition en éléments simples ............................................................................................... 49 2.1.5. Significations des éléments simples pour la musique .................................................................. 52 2.1.6. Graphes à 12 sommets, produits d’éléments simples .................................................................. 58 2.1.7. Choix d’un isomorphe : le Graphe Planet ..................................................................................... 63 2.1.8. Coloration du graphe ......................................................................................................................... 64 2.2. ETUDE DU GRAPHE PLANET ........................................................................................................65 2.2.1. Eléments constitutifs du Graphe Planet ....................................................................................... 65 2.2.2. Propriétés du graphe ......................................................................................................................... 67 2.2.3. Traduction des propriétés du graphe en termes musicaux .................................................... 69 2.2.4. Calcul du spectre ................................................................................................................................. 74 2.2.5. Etude des espaces propres ............................................................................................................... 80 2.2.6. Conclusion concernant la projection spectrale du Graphe Planet ........................................ 91 2.2.7. Construction du modèle géométrique .......................................................................................... 92 2.3. ETUDE AUTOUR DES QUATERNIONS .............................................................................................95 2.3.1. La démarche quaternions ................................................................................................................. 95 2.3.2. Construction du modèle par quaternions ..................................................................................... 97 2.3.3. Distances entre les quaternions..................................................................................................... 100 2.3.4. Des quaternions aux graphes .......................................................................................................... 101 2.3.5. Conclusions .......................................................................................................................................... 102 8 | Gilles Baroin – Applications de la théorie des graphes à des objets musicaux. 2.4. PROPRIETES DU MODELE GEOMETRIQUE................................................................................... 103 2.4.1. Les distances dans le modèle........................................................................................................... 103 uploads/Science et Technologie/ applications-de-la-th-eorie-des-graphes-x27-a-des-objets.pdf

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