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Page de garde Angle Avenue Âhmed chaouki et Rue de Fès B.P : 122 - 24000 El Jadida Maroc - Épreuve de Mathêrnatiques et Informatique - Sqr"rg1 J9?0 - Filière ECS CNAEM Durée : 4 heures ***** Les candidats sont informés que Ia précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction et à ia présentation des copies seront des éléments pris en compte dans Ia notation. II convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui peut lui sembler être une ereur d'énoncé, il Ie signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant Ies raisons des initiatives qu'ii est amené à prendre. Remarques gênérales: L'épreuve se compose trois probièmes indépendants. ***** Problème 1 On rappelle que M3(JR) est l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre trois et Me,r(R) est l'ensemble des matrices réeiles à trois lignes et une colonne. Soit .E un espace vectoriel sur R et 0 : (er, e2, e3) :une base de .8. Pour tous réels o et b, on considère I'endomorphisme /1o.6; de I'espace vectoriel ,E dont Ia matrice dans Ia base B est donnée par : Mç,u1 : 2a+7b -2b 4b \ t2b 2a-zb 8ô I -6b 2b 2a-3b/ On pose F : {M6,u1; @,b) € R'}. On considère les matrices suivantes : i) ,:(i: Partie 1 Diagonalisation de la matrice A a) Montrer que -t'est un sous espace vectoriel de,'V3(R.). b) Vérifier que (.I, A) est une base de .F. i)",.:(iii) /7 *2 A:l t2 -3 \-u 2 #, UZ. O"considèrelesvecteursde-EdanslabaseBsuivants: e\:(1,2,_l),elr:(_1,7,2)etel:(t,1,-1)' ÿ a) Vérifier que e'1 est un vecteur propre de l'endomorphisme "f(0.1) associé à une valeur propre À1 Que l'on précisera. ù Vérifier qlre e!2et e! sont deux vecteurs propres de l'endomorphisme /10,r; associés à une valeur propre À2 Que l'on Précisera. ÿ ,. no.o, s P' - (ei,e'2,e's). t/ u) îc.iner que B/ est une base de E. ÿ U; Uorrtrer que l'endomorphisme /1s,1; est diagonaiisable. l/ Q Déterminer P la matrice de passage de la'base § àlabase B'. 1/ d; Montrer qu'il existe une matrice diagonale notée D à préciser telle que A : P D P 1 . fù a) Montrer que pour tous réels a et b, il existe une matrice diagonale notée Dio,o; à préciser teile (-/ il16,0): PD6,61P-L æ b) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour q:ue M6,a1 soit inversible. c) Montrer que, dans le cas où Mça,a1 est inversible, MGlo): PDç,,3,1P-1 où o'et b/ sont à préciser en fonction de a et de b. 5. On pose, pour tout réel a, Mo: M(o,o) et Do: D6,o). a) Déterminer pour tout entier naturel n, M: en fonction de P, Do et n, justifier votre réponse. Page 1/4 reuve de Mathêmatiques et Informatique - Session 2O2O - Filière ECS CNAEM b) i) Verifler que P3 - pz - I : O et en déduire i'expression de Ia matrice P-1. ii) En déduire pour tout entier naturel n., i'expression de .4,ff sous la forrne d'un tableau en fonction deaetn. c) Déterminer, dans Ie cas où ll,[o est inversible, I'expression de M;t sous la forme d'un tableau en fonction de a. Partie 2 Application à un système de suites On considère les suites (rn)n, (An). "t (z-)n q',i sont définies par les conditions initiales r0 : 0, ao : 2 et zo : 3 et pour tout entier naturel n, /à\ /,"\ On pose B: { ; l " poul tout entier naturel n, X,: { yn I "-'''- \ô/-'r'-- \;;) 1. Montrer que pour tout entier naturel rz, il existe un réei os à préciser, tel que Xn+t: Mooxn+ B. f,-. Érrire rrn prog"".mme scila.h-qu"i affiehe l"& nletriee eur'! 3. On se propose de.trouver la matrice colo4ne I/ de,À43,1(R) telle que U : MooU + B. a) Vérifier que 1 - I\l[oo: Mçf,_oo,_oo). b) En déduire que ia matrice I - A,I?" est inversible et calculer son inverse. c) En déduire la valeur de Ia matrice colonne [/. 4. a) Montrer que pour tout entier naturel fr, Xn+t U : Mou(Xn U). b) En déduire par récurreuce que pour tout entier natureln, Xn U: (M"")'(Xo - I/). 5. Déterminer pour tout entier naturel n, les expressions de xtn , ÿn et zn, e\ fonction de n, (on utilisera l'expression de (M*)" obtenue dans la question 5. b) ii) de la partie 1). 6. Montrer que les suites (r,),, (An)n et (zn)n sont convergentes et déterminer Ia limite de chacune. Problème 2 ( rn,r:90*u_ ày,+r,*i { 3/n-r : 3r, lnan +2zn l'1 I z,+r = lr, + [a* àr, Dans tout Ie problème, a dêsigne un réel strictement positif et /, Ia fonction définie sur JR par, I o si.r<o r"@): 1 ,- ., I rÉ.- sir]0 On rappelle qrr" f- e-" dr : + 1. 2 ,) Partie 1 Étude d'une variable alêatoire à densité Montrer eue .fo est une densité de probabilité. Par Ia suite, on considère la variable aléatoire notêe X, admettant /. comme densité' Déterminer Ia fonction de répartition F76" de la variable aléatoire Xr. On considère Ia suite (r*)r>, déflnie de la façon suivante, pour tout entier naturel non nul k, ttu : P ( "/alr,(k\ < Xo < 1/aln(k. 1)) .. \ , ,, a) 1\4ontrer que pour tout entier naturel non nul ,,ÿur:1- -1 -. k:t Pase 2/4 Épreu,re de Mathém"ti CNAEM b) En déduire Que ) u, est une série convergente et déterminer sa somme. 4. Soit Zolavariable aléatoire réelle définie pat Zo- XZ' a) Montrer qÏie zo suit une Ioi exponentielle de paramètre À à préciser en fonction de a' b) Écrire un programme scilab simulant Ia variable aléatoire Xo, qui renvoie une matrice à une ligne et mille colonnes conJenant mille réalisations de Xo, le réel o strictement positif étant donné par l,utilisateur. (On rappelle que la commande rand(m, n, 'exp', i) setct" une matrice à m lignes et n colonnes dont les coefficients sont les réalisations d'une loi exponentielle de paramètre À). b. a) Montrer qr" ,[ "4a*: +,(on pourra faire un changement de variable convenable)' b) Montrer que poru tout entier naturel n, tel que n) 2 et pour tout réel positif r, [' t*"* at : --a *n-l "4 + @ - 12 [' ,n-2"4 4t c) En déduire que pour tout entier naturel n, tel que n) 2, l** *^"+ d,r: (n - \î l: ,n-zu* d,r 6. a) Montrer que Xo admet une espérance E(X") que I'on déterminera en fonction de a' b) Montrer que Xo admet urie variance V(Xr) que l'on déterminera en fonction de a' Partie 2 Étude de deux suites de variables alêatoires à densité Soit n, un entier naturel non nul. On considère zr, variables alêatoires indépendantesY1,Y2,"',Yn qui suivent iamêmeloiqueXr.Onposepourtoutentiernaturelnonnul fr,5.:=*»YlaetTn:irlf(-y1 ,Y2,"',Yr)' n{r T_: 1. a) Déterminer l',espérance .E(sr) de la variable aléatoire ,5, en fonction de a. b) Déterminer lavariance,V(^9r) de lava,riable alêatoire S,, en fonction de n et de o' 2. a) Montrer que pour tout réel e positif, P(T* > r) : e-n* ' b) Déterminer Ia fonction de répartition de la variable alêatoire Ç. c) En déduire une densité de la variable aléatoire 7i"' d) Déterminer l'espérance E(Tr) de ia variable aléatoire Ç en fonction de n et de o' e) Déterminer la varianceV(T*) de la variable aiéatoire Ç en fonction de n et de o" 3. Écrire un programme scilab qui détermine la plus petite valeur non nulle de n, telle quie P(Tn > r) < 10-5, Ies réels positifs a et r sont donnés par I'utilisateur' ? Problème 3 Soit (ç2, .4, p) un espace probabilisé, on appelle la fonction génératrice d'une variable aléatoire réelle X à valeurs dans N, lorsqu'elle existe, la fonction Gx définie par: G7ç(ü) :D'é:k)tk' Partie l- *:o Exemples classiques de fonctions génêratrices 1. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N' \ a) Montrer que pour tout réel t de l'intervalle [0, 1[, Ia série I-ü'est convergente et déterminer sa n)O somme. Page 314 Epreuve de Mathématiques et Informatique - Session 2OZO - Filière ECS CNAEM b) En déduire que pour tout réel f de l'intervalle l-1, 1[, la série c) uploads/Science et Technologie/ cnaem-maths-ecs-2020.pdf