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See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/280681694 Inverse source problem in evolution advection-dispersion-reaction with varying coefﬁcients Article · November 2013 CITATIONS 0 READS 71 1 author: Some of the authors of this publication are also working on these related projects: Numerical analysis for inverse problem with fractional derivative View project Imed Mahfoudhi University of Monastir 13 PUBLICATIONS 51 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Imed Mahfoudhi on 03 April 2019. The user has requested enhancement of the downloaded file. HAL Id: tel-00975168 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00975168 Submitted on 8 Apr 2014 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Problèmes inverses de sources dans des équations de transport à coefficients variables Imed Mahfoudhi To cite this version: Imed Mahfoudhi. Problèmes inverses de sources dans des équations de transport à coefficients variables. Mathématiques générales [math.GM]. INSA de Rouen, 2013. Français. <NNT : 2013ISAM0032>. <tel-00975168> THÈSE Pour l’obtention du grade de Docteur de L’Institut National des Sciences Appliquées de Rouen Laboratoire de mathématiques de l’INSA, EA 3226. Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006 ÉCOLE DOCTORALE SMPII DOMAINE DE RECHERCHE : Mathématiques Appliquées Présentée par Imed MAHFOUDHI Problèmes inverses de sources dans des équations de transport à coeﬃcients variables Soutenue le 15 Novembre 2013 Devant la Commission d’Examen JURY M. Abdellatif El BADIA Professeur à l’Université de Compiègne Rapporteur M. Olivier GOUBET Professeur à l’Université de Picardie Jules Verne Rapporteur M. Marc BONNET Directeur de recherche CNRS, INRIA-ENSTA Président M. Patrice CHATELLIER Directeur de recherche, IFSTTAR Marne la Vallée Examinateur M. Nicolas FORCADEL Professeur à l’INSA de Rouen Examinateur M. Tao PHAM DINH Professeur à l’INSA de Rouen Directeur M. Adel HAMDI Maître de Conférences à l’INSA de Rouen Co-encadrant Thèse préparée au sein du Laboratoire de Mathématiques de l’INSA de Rouen (LMI) À mes parents. À ma femme. À mes frères et soeurs !. i Remerciements ii Remerciement C’est un grand plaisir pour moi de remercier toutes les personnes qui ont permis à ce travail d’être ce qu’il est. Mes premiers remerciements s’adressent à mon directeur de thèse Professeur Tao PHAM DINH et mon encadrant Monsieur Adel HAMDI, pour m’avoir conseillé, encouragé et soutenu tout au long de la thèse avec patience et disponibilité, aussi pour la conﬁance qu’ils m’ont accordée. Mes plus sincères remerciements vont également aux Monsieur Abdellatif EL BADIA, Pro- fesseur à l’Université de Technologie de Compiègne et Monsieur Olivier GOUBET, Professeur à l’université de Picardie Jules Verne qui m’ont fait l’honneur d’être rapporteurs de mon travail. Je remercie également Monsieur Marc BONNET, Directeur de recherche CNRS, INRIA- ENST, à Monsieur Patrice CHATELLIER, Directeur de recherche à l’IFSTTAR ainsi qu’au Monsieur Nicolas FORCADEL, Professeur à l’INSA de Rouen pour avoir accepté de siéger au sein du jury. Je remercie Monsieur Julien WAEYTENS , Chargé de Recherche à l’IFSTTAR, d’avoir ac- cepté mon invitation d’étré présent à ma soutenance de thèse. Je tiens à remercier Monsieur Christain GOUT, Directeur du laboratoire LMI de l’INSA de Rouen et Madame Brigitte DIARRA du secrétariat pour leur accueil chaleureux, leur gentillesse, leur disponibilité et leur savoir faire. Mes remerciements vont ensuite aux membres du laboratoire LMI aussi bien pour les discus- iii Remerciements sions techniques que pour la bonne ambiance de travail. Je remercie tout d’abord Omar et Thierry que je n’ai cessé d’embêter avec mes soucis informatiques, pour son accueil et sa disponibilité ; Rachida, Jean-Guy, Carole, Arnaud, Bernard pour leur gentillesse et leur amitié anisi qu’à Mo- hamed Sadik, Lamia, Khaled, Nga, Benoit, Son, Manh, Mamadou, Niu les anciens doctorant du laboratoire pour l’aide précieuse dans les moments importants. Je tiens également à remercier tous mes enseignants pour la qualité de l’enseignement qu’ils ont bien voulu me prodiguer durant mes études aﬁn de me donner une formation de qualité. Je salue très amicalement tous mes amis, doctorants du LMI & LMRS : Florentina, Denis, Ratiba, Solène, Théophile, Zacharie, mes amis doctorants du LMRS : Imen, Mohamed Najem, Mohamed Houda, Nicolas, Said, David,... aussi tous mes amis à Rouen : Zied, Nasim, Hakim, Mohamed kaﬁ, Saber, les deux "Aymen", Dia, Ahmed Rejaiba, Ayadi, Abed ennacer... vraiment la liste est longue mais je suis désolé pour les noms oubliés. Je voudrais aussi remercier mes amis de Tunisie où j’ai fait mon étude de maîtrise en mathé- matiques, Bayreme, Hamed, Najieb, Mondher et Khalil, ainsi que mes amis d’enfance : Rochdi, Khaled, Atef, Jaïdi,... Ils étaient toujours à mes côtés aux moments difﬁciles. Je remercie inﬁniment ma femme sabrine qui fut présente à mes côtés depuis ma dernière année de thèse à Rouen, pour sa patience et son ecouragement. Merci aussi à ma famille, pour son soutien et ses encouragements. Cette thèse est un aboutissement de longues années d’études, je la dois beaucoup à tous les membres de ma famille. Il m’est impossible de trouver les mots pour dire à quel point je leur suis reconnaissant et combien je les aime. Enﬁn, mes remerciements vont à tous ceux qui m’ont accompagné, de près ou de loin, ces dernières années. iv Résumé Cette thèse porte sur l’étude de quelques questions liées à l’identiﬁabilité et l’identiﬁcation d’un problème inverse non-linéaire de source. Il s’agit de l’identiﬁcation d’une source ponc- tuelle dépendante du temps constituant le second membre d’une équation de type advection- dispersion-réaction à coeﬃcients variables. Dans le cas monodimensionnel, la souplesse du mo- dèle stationnaire nous a permis de développer des réponses théoriques concernant le nombre des capteurs nécessaires et leurs emplacements permettant d’identiﬁer la source recherchée d’une façon unique. Ces résultats nous ont beaucoup aidés à déﬁnir la ligne de conduite à suivre aﬁn d’apporter des réponses similaires pour le modèle transitoire. Quant au modèle bidimensionnel transitoire, en utilisant quelques résultats de nulle contrôlabilité frontière et des mesures de l’état sur la frontière sortie et de son ﬂux sur la frontière entrée du domaine étudié, nous avons établi un théorème d’identiﬁabilité et une méthode d’identiﬁcation permettant de localiser les deux coordonnées de la position de la source recherchée comme étant l’unique solution d’un système non-linéaire de deux équations, et de transformer l’identiﬁcation de sa fonction de débit en la résolution d’un problème de déconvolution. La dernière partie de cette thèse discute la diﬃculté principale rencontrée dans ce genre de problèmes inverses à savoir la non identiﬁabilité d’une source dans sa forme abstraite, propose une alternative permettant de surmonter cette diﬃculté dans le cas particulier où le but est d’identiﬁer le temps limite à partir duquel la source impliquée a cessé d’émettre, et donc ouvre la porte sur de nouveaux horizons. Mots clés : Problèms Inverse de source ; Nulle contrôlabilité frontière ; Optimisation ; équa- tion de diﬀusion-Advection-réaction ; Équation aux Dérivées Partielles ; Pollution des eaux de surfaces. v Table des matières vi Table des matières Introduction générale 3 I Modélisation mathématique 7 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Principales sources de pollution des eaux de surface . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Conséquences de la pollution des eaux de surface . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Indices renseignant sur la présence d’une pollution . . . . . . . . . . . . . 8 2 Historique de la qualité des eaux de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Modèles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1 Modèle simple [DBO] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Modèle couplé [DBO] −[OD] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 But du travail : problème inverse de source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II Identiﬁcation of a point source in stationary 1D advection-dispersion-reaction equations with varying coeﬃcients : detection of a pollution source 17 1 Introduction . . . . . . . . . uploads/Science et Technologie/ inverse-source-problem-in-evolution-advection-disp.pdf