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Mohamed DIOURI Docteur Ingénieur Président Fondateur de l’IGA Adil ELMARHOUM Do

Mohamed DIOURI Docteur Ingénieur Président Fondateur de l’IGA Adil ELMARHOUM Docteur en statistique et informatique appliquée Professeur Habilité Université Mohamed V Agdal MATHEMATIQUES FINANCIERES Cours et exercices avec solutions Collection Sciences Techniques et Managements des éditions TOUBKAL Publications du Centre de Recherche en Gestion (CRG) de l’IGA MATHEMATIQUES FINANCIERES Cours et exercices avec solutions Tous les droits sont réservés Dépôt légal N° 2008/1648 I.S.B.N. : 9981 – 25 – 587 – 4 Les livres de la collection Sciences Techniques et Management sont co-édités par les éditions TOUBKAL et l’Institut supérieur du Génie Appliqué, IGA. A la mémoire de Myriam PREFACE Très curieusement les mathématiques financières ne sont que peu enseignées et ne font l’objet que de très peu d’ouvrages et de manuels alors qu’elles pourraient être utiles à tout le monde. - peu enseignées : par exemple, les lycéens qui, en France et au Maroc, suivent la formation économique), et a fortiori les autres formations menant aux baccalauréats généraux, S ou L, (Scientifique ou Littéraire), n’ont aucun enseignement en ce domaine. Il faut attendre les formations de l’enseignement supérieur, et bien souvent, bac+3 voire bac+5, pour que les étudiants aient les mathématiques financières à leur programme et, encore, dans des filières spécialisées telles que économie, gestion ; - peu d’ouvrages : alors que dans beaucoup de domaines de l’économie, de la gestion ou du management il y a pléthore de manuels ,15 ou 20 voire 30 ou plus, pour certaines matières, les manuels de mathématiques financières, en français, se comptent sur les doigts et encore sans doute d’une seule main - Utiles à tout le monde : elles permettent de répondre à de multiples questions telles que par exemple : . par rapport au paiement comptant, la proposition qui m’est faite de payer en x fois, correspond à quel taux d’intérêt sur le crédit qui me serait ainsi fait ? . J’envisage d’acheter un appartement en vue de le louer, quel loyer mensuel devrais-je fixer pour obtenir un rendement de y % ? . Quel est le rendement effectif de telle obligation ? . etc… Dans ce manuel sont traités les principes de base et les aspects essentiels des mathématiques financières. La première partie est consacrée au court terme : intérêt simple et escompte à intérêt simple. La seconde partie concerne le moyen et le long termes : intérêts composés, annuités, emprunt indivis, emprunts obligataires, rentabilité des investissements. Des exercices, avec leurs solutions, clôturent chaque chapitre, permettant ainsi aux étudiants de s’entraîner s’ils le souhaitent. Mais si cet ouvrage est en priorité destiné aux étudiants, il peut également être utile à toute personne qui veut prendre ses décisions en toute connaissance de cause. En effet, il est clair, pédagogique, détaillé, l’étudiant, et plus généralement le lecteur est ainsi conduit pas à pas, de nombreux exemples illustrant les différents points traités. Les démonstrations plus complexes, voire académiques, sont renvoyées en notes de lecture, ce qui est pédagogiquement excellent, puisque seuls les étudiants suffisamment formés en mathématiques peuvent les aborder, les autres sont invités à les admettre, ce qu’ils font habituellement avec aisance ! Le lecteur, quel qu’il soit, étudiant ou non, peut faire entière confiance aux auteurs dont les compétences en mathématiques sont certaines. Adil El Marhouh, ingénieur d’Etat en statistique et informatique, est enseignant chercheur à l’Université Mohamed V Agdal. Mohamed Diouri, docteur ingénieur, diplômé de l’université française, est professeur et animateur de séminaires. L’un et l’autre sont auteurs de manuels, notamment dans les domaines des statistiques et des probabilités, de l’électronique, et, pour Mohamed Diouri, du management. Je félicite les auteurs pour la qualité de cet ouvrage qui, je n’en doute pas, sera très utile aux étudiants et à tous les lecteurs qui ont des décisions à prendre en matière financière. Nicole Gautras Professeur de Sciences Economiques à l’Université de Tours Doyen Honoraire de la Faculté de Droit et Economie de Tours SOMMAIRE AVANT PROPOS 9 1ERE PARTIE : MATHEMATIQUES FINANCIERES A COURT TERME 11 CH. 1. L’intérêt simple 13 CH. 2. L’escompte à intérêts simples 53 2EME PARTIE : MATHEMATIQUES FINANCIERES A MOYEN TERME 89 CH. 3. L’intérêt composé 91 CH. 4. Les annuités 127 3EME PARTIE : MATHEMATIQUES FINANCIERES APPROFONDIES 169 CH. 5. L’emprunt indivis 171 CH. 6. L’emprunt obligataire 213 CH. 7. La rentabilité des investissements 239 TABLES FINANCIERES 267 BIBLIOGRAPHIE 303 LISTE DES OUVRAGES 305 TABLE DES MATIERES 307 Cours de mathématiques financières 9 AVANT PROPOS Le présent livre est un cours magistral de mathématiques financières conforme aux programmes d’enseignement des premières années des universités et des écoles publiques et privées de l’enseignement supérieur. Chaque chapitre est organisé comme suit : - Des paragraphes consacrés aux différents points relatifs aux chapitres avec un ensemble d’exemples d’application qui font office d’exercices corrigés ; - Des exercices d’application proposés avec indications des résultats sans pour autant donner les solutions ; - Des notes de lectures qui complètent les chapitres par des réflexions et des démonstrations proposées aux étudiants et professeurs qui désirent approfondir leurs connaissances en mathématiques financières. Cours de mathématiques financières 10 Nous espérons, par un tel ouvrage, contribuer à enrichir le palmarès marocains des livres de mathématiques financières, palmarès qui est déjà assez riche et qui ne nous pas dissuader d’ajouter une autre contribution. Les auteurs Mohamed DIOURI Adil ELMARHOUM Mathématiques financières 11 PARTIE 1 MATHEAMTIQUES FINANCIERES A COURT TERME Le court terme, en finance, ne dépasse pas l’année. Il se compte, en jours, en mois, en trimestres, etc. Les mathématiques financières, à court terme, se déduisent d’une seule et unique formule. La formule fondamentale de l’intérêt simple : I = C n t Mathématiques financières 12 Mathématiques financières 1. L’intérêt simple 13 CHAPITRE 1 L’INTERET SIMPLE 1.1. DEFINITIONS. Le taux d’intérêt simple est l’intérêt que rapporte un DH pendant une période, c’est-à-dire en général, l’année. Ainsi un taux t = 8% = 0,08 veut dire que 1 DH rapporte (ou produit) un intérêt de 0,08 DH pendant une année. De cette définition simple, découle la règle pour calculer l’intérêt produit par un capital C pendant n périodes. En effet il suffit de multiplier le taux d’intérêt t par C et par n, ce qui donne la Formule fondamentale de l’intérêt simple : t x n x C I  (1) Ave c : - I : Intérêt produit par C pendant n périodes ; - C : capital prêté ; - n : nombre d’unités de temps (n années) ; - t : le taux d'intérêt simple, pour une année. Remarque 1 : La formule (1) diffère de la formule qu’on trouve, habituellement, dans certains ouvrages de mathématiques financières, à savoir la formule suivante : 100 t n C I    (2) En effet, la différence entre les formules (1) et (2) vient du fait que : -dans la formule (1), le taux d’intérêt est pris pour sa vraie valeur mathématique, à savoir, par exemple, si t = 7% on prendra t = 0, 07 ; -dans la formule (2), le taux d’intérêt n’est pas pris pour sa vraie valeur mathématique, c’est-à-dire que par exemple, pour t = 7% on prendra la valeur t = 7, étant donné que le produit n x C x t est déjà divisé par 100. Mathématiques financières 1. L’intérêt simple 14 Nous avons, pour notre part, privilégié, l’expression (1), celle de la notation qui nous semble mathématiquement parlant, la plus réelle. Toutes les formules que nous manipulerons, dans les chapitres de cette 1è partie, seront des formules déduites de la formule fondamentale (1) de l’intérêt simple. Ainsi, toute cette 1è partie est basée sur une seule formule, la formule (1). La formule (1) donne l’intérêt I que l’emprunteur doit débourser, au bout de n années : t n C I    . Le calcul des intérêts simples n’intervient, en principe, que pour le court terme, c’est-à-dire, pour des périodes inférieures à une année (quelques jours ou quelques mois) car, comme nous le verrons, dans la 2è partie, pour des périodes qui dépassent l’année, on calcule, habituellement, des intérêts composés. Dans ces conditions, et pour des durées de court terme, comptées en mois, quinzaines, jours, etc., nous utilisons des formules qui sont déduites de la formule (1) : ¤ Périodes décomptées en mois : Si la durée est exprimée en mois, n mois, par exemple, comme n mois équivalent à (n/12) années, la formule fondamentale (1) devient : 12 t n C t 12 n C I       (3) ¤ Périodes décomptées en quinzaines : Si la durée est exprimée en quinzaines, n quinzaines, par exemple, comme n quinzaines équivalent à (n/24) années, la formule fondamentale (1) devient : 24 t n C t 24 n C I       (4) ¤ Périodes décomptées en jours : Si la durée est exprimée en jours, n jours, par exemple, comme n jours équivalent (n/360) années (l’année commerciale étant de 360 jours), la formule fondamentale (1) devient : 360 t n C t 360 n C I  uploads/Science et Technologie/ mathematiques-financieres-cours-et-exerces-corriges.pdf