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Introduction aux incertitudes de mesures D. Boilley, Y. Lallouet To cite this v

Introduction aux incertitudes de mesures D. Boilley, Y. Lallouet To cite this version: D. Boilley, Y. Lallouet. Introduction aux incertitudes de mesures. Bulletin de l’Union des Physiciens, 2013, 107, pp.1-15. <in2p3-00793518> HAL Id: in2p3-00793518 http://hal.in2p3.fr/in2p3-00793518 Submitted on 22 Feb 2013 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entiﬁc research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destin´ ee au d´ epˆ ot et ` a la diﬀusion de documents scientiﬁques de niveau recherche, publi´ es ou non, ´ emanant des ´ etablissements d’enseignement et de recherche fran¸ cais ou ´ etrangers, des laboratoires publics ou priv´ es. Introduction aux incertitudes de mesure David Boilley1 et Yoann Lallouet2 Résumé : Les incertitudes évaluées en utilisant les normes internationales sont entrées dans les programmes de terminales scientifiques. Les livres de physique, destinés aux élèves, sont un peu justes pour les enseignants. Cet article a pour objectif de présenter les notions nécessaires à une bonne application des formules utiles. 1. Introduction La mesure étant une étape essentielle de toute démarche scientifique, il nous paraît important que les élèves se destinant aux sciences aient des notions sur les outils qui servent à estimer sa qualité. L’évaluation de l’incertitude de mesure est cependant une démarche complexe et cet article a pour but de clarifier certains points. Depuis les années 1970, l’évaluation de l’incertitude fait l’objet d’un travail de normalisation international à l’instar de ce qui a été fait pour les unités de mesure. La première recommandation internationale INC-1, Expression des incertitudes expérimentales (1980), préparée par un groupe de travail du Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) tient en une page. Il a ensuite été décidé de transférer à l'Organisation internationale de normalisation (ISO) la responsabilité d'élaborer un guide détaillé qui est paru en 1993. Sa traduction française date de 1995. Le Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure, communément appelé le GUM pour Guide to Uncertainty in Measurement, est disponible en ligne gratuitement avec ses suppléments sur le site du BIPM [1]. Il a été repris sous forme de norme européenne et donc française sous la référence NF ENV 13005 en 1999. Ce travail de normalisation n’est pas fini puisque 3 suppléments ont été publiés depuis, le dernier datant de 2012. D’autres sont en cours de préparation. Par ailleurs, le Vocabulaire International de Métrologie, communément appelé le VIM, est aussi disponible sur ce site [2] en français et en anglais. C’est un complément très utile qui précise que « le mot « mesure » a, dans la langue française courante, plusieurs significations. Aussi n’est-il pas employé seul dans le présent vocabulaire. C’est également la raison pour laquelle le mot « mesurage » a été introduit pour qualifier l’action de mesurer. Le mot « mesure » intervient cependant à de nombreuses reprises pour former des termes de ce Vocabulaire, suivant en cela l’usage courant et sans ambiguïté. On peut citer par exemple : instrument de mesure, appareil de mesure, unité de mesure, méthode de mesure ». Cet article n’a pas l’ambition d’être exhaustif sur le sujet. Il se limite à présenter les notions nécessaires pour enseigner les incertitudes aux élèves de terminale scientifique, conformément au programme [3]. 1 Enseignant-chercheur à l’Université de Caen Basse-Normandie (membre de Normandie univ) et chercheur au GANIL (Grand Accélérateur National d’Ions Lourds), boilley@ganil.fr 2 Professeur de sciences physiques au lycée Malherbe de Caen, Yoann.Lallouet@ac-caen.fr 2. Quand le résultat de mesure est une variable aléatoire 2.1 Introduction Il n’y a pas de mesurage parfait, même pour déterminer une grandeur aussi simple que la longueur d’une table par exemple. Tous les élèves ne feront pas le mesurage de la table au même endroit, ou n’utiliseront pas le même instrument de mesure. On peut aussi imaginer que la grandeur mesurée est sensible aux conditions de température et de pression. Bref, si l’on multiplie les mesurages, on obtient un ensemble de valeurs. La première question qui se pose alors est quel résultat choisir ? Si tous ces résultats sont proches les uns des autres, ce sera assez facile. En revanche, s’ils sont très dispersés, on aura moins confiance. La deuxième question est donc comment quantifier la dispersion des résultats ? Il nous faut choisir le résultat que l’on estime le meilleur et estimer la dispersion de tous les résultats à l’aide d’outils mathématiques que nous allons définir et utiliser. Pour cela, nous allons donc considérer les valeurs obtenues comme une variable aléatoire pour laquelle nous allons utiliser des probabilités. En effet, un mesurage, ou une série de mesurages, ne sont pas toujours effectués pour simplement évaluer la valeur d’une grandeur, mais aussi, par exemple, pour contrôler la conformité d’un produit. Supposons que la concentration d’un polluant quelconque dans de l’eau soit égale à 0,90±0,05 (peu importe l’unité) et que la norme impose une concentration inférieure à 1. Cette eau pourra-t-elle être commercialisée ou non ? Pour pouvoir répondre, il faut connaître la probabilité que la concentration dépasse le seuil imposé. Si cette probabilité est jugée suffisamment faible, l’eau sera commercialisée. Elle ne le sera pas dans le cas contraire. Ainsi, en plus de la détermination du résultat que l’on estime le meilleur et de la dispersion des valeurs de mesure, il peut parfois être utile de connaître aussi la fonction de densité de probabilité qui permet de calculer la probabilité que la grandeur mesurée ait une valeur dans un intervalle donné. 2.2 Valeur moyenne Quand on a n résultats de mesure xi d’une même grandeur, c'est la valeur moyenne, bien connue, qui est retenue comme meilleure estimation de la valeur de la grandeur mesurée, x = 1 n xi i=1 n ∑ . Nous verrons plus loin pourquoi. Si le nombre de répétitions, n, tend vers l’infini, la valeur moyenne tend vers l’espérance mathématique, µ, que les élèves de terminale scientifique utilisent en mathématiques [4]. 2.3 Variance et écart-type Pour estimer la dispersion des résultats, on fait la moyenne du carré de l'écart à la moyenne pour obtenir la variance, s2(x) = 1 n −1 (xi −x)2 i=1 n ∑ . s = s2(x) est appelé écart-type et a la même dimension que la grandeur mesurée, alors que la variance a la dimension du carré de la grandeur mesurée. Plus les résultats sont dispersés, plus les termes (xi −x)2 sont grands et plus la variance et l'écart-type sont grands. Au dénominateur, c'est bien n-1 qui est utilisé et non n comme pour la définition de la variance apprise en mathématiques. Cette correction est due à Friedrich Wilhelm Bessel et est donc appelée correction de Bessel. Nous y reviendrons. 2.4 Variance et écart-type de la moyenne Imaginons qu'un binôme ait fait une première série de n mesurages et ait calculé la moyenne de ses résultats. Un autre binôme, qui fait le même TP et n mesurages, ne va pas obtenir la même moyenne, même s'il travaille aussi bien. On peut étudier la distribution des moyennes obtenues par plusieurs binômes. Un calcul, que nous ne ferons pas ici, permet de montrer que la variance des moyennes vaut s2(x) = 1 n s2(x) = 1 n(n −1) (xi −x)2 i=1 n ∑ . Pour bien comprendre la différence, s(x) est l'écart-type obtenu quand on choisit une valeur particulière au hasard et s(x) celui que l'on obtient quand on choisit la valeur moyenne. On peut aussi prendre l’exemple des notes de bac pour comprendre. Si l’on regarde toutes les notes sur une épreuve donnée, elles vont de 0 à 20. En revanche, si l’on regarde la moyenne obtenue par une classe, elle sera plus proche de 10. Il est peu probable qu’une classe ait une moyenne proche de 0 ou 20. Ainsi, la distribution des moyennes est plus étroite. D'où l'intérêt de choisir la moyenne comme résultat final d’un mesurage. 2.5 Estimateur de la variance On peut aussi regarder les variances obtenues par chaque binôme du paragraphe précédent. Elles seront toutes différentes car le nombre de mesurages est fini. Chaque résultat correspond à une estimation de la variance et les formules s2(x) ou s2(x) sont appelées des estimateurs des variances. Si le nombre de binômes tend vers l’infini et que l’on fait la moyenne des variances obtenues, Bessel a montré qu’il fallait bien mettre n-1 au dénominateur de la formule utilisée pour retrouver le résultat des mathématiques. Et si l’on calcule la variance des variances obtenues par les différents binômes pour estimer la qualité de l’estimation de chaque binôme, on peut montrer [5] que l’incertitude relative sur l’écart-type estimé s(x) par un nombre n de mesurages vaut 1/ 2(n −1) . L’annexe E du GUM propose une formule pour s(x) qui est plus complexe et dont on peut tirer le tableau n°1. On voit immédiatement que l’estimation de l’écart-type de la moyenne est très mauvaise si le nombre d’observations est faible. Pour n plus petit que 10, on gagne beaucoup en faisant un mesurage supplémentaire. uploads/Science et Technologie/ introduction-aux-incertitudes-de-mesures-d-boilley-y-lallouet.pdf