Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUP

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE LARBI BEN MHIDI D'OUM El BOUAGHI FACULTE DES SCIENCES EXACTES ET SCIENCES DE LA NATURE ET DE LA VIE DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE N°d’ordre :……/2019 MEMOIRE Présenté pour obtenir le diplôme de Master en Mathématiques Option : Mathématiques appliquées THEME Présenté par: MERAD Hadjer Soutenu le : 08/06/2019 Devant le Jury: Président : Pr N. Merazga Univ.Oum El Bouaghi Rapporteur : Dr I. Boussefsaf Univ.Oum El Bouaghi Examinateurs : Dr B. Hadjou Univ.Oum El Bouaghi Dr M. Saadi Univ.Oum El Bouaghi 2018/2019 FONCTIONS DE BESSEL ET APPLICATIONS A LA RESOLUTION D 'UN PROBLEME DE PHYSIQUE MATHEMATIQUE Table des matières INTRODUCTION 6 1 NOTIONS PRELIMINAIRES 8 1.1 Quelques fonctions spéciales : Γ, β et pFq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Fonction Bêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.3 Fonctions Hypergéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Formule de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Méthode de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 FONCTIONS ET POLYNOMES DE BESSEL 19 I Fonctions de Bessel 20 2.1 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Résolusion de l’équation de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Relations de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.3 Forme intégrale des fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.4 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Fonctions de Bessel Modiﬁées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1 Relations de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Forme intégrale des fonctions de Bessel modiﬁées . . . . . . . . . . 44 1 2.3 Autres types de fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.1 Fonctions de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.2 Fonction de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Fonctions de Bessel sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Comportement des fonctions de Bessel dans les cas limites . . . . . . . . . 50 II Polynômes de Bessel 51 2.6 Polynômes de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6.1 Résolusion de l’équation de polynômes de Bessel . . . . . . . . . . . 52 2.6.2 Relation entre les polynômes et les fonctions de Bessel . . . . . . . 53 2.6.3 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6.4 Relations de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6.5 Formule de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6.6 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.7 Polynômes de Bessel généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.7.1 Formule de Rodrigues pour les polynômes de Bessel généralisés . . . 58 2.7.2 Relations de récurrence pour les polynômes de Bessel généralisés . . 58 2.7.3 Orthogonalité des polynômes de Bessel généralisés . . . . . . . . . . 59 3 APPLICATIONS 60 3.1 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 Equation d’Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Equation du pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4 Equation d’onde en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Conclusion 67 Bibliographie 69 2 Résumé Ce mémoire est consacré à l’étude des fonctions et des polynômes de Bessel avec quelques applications dans le domaine de la physique . En premier lieu, nous avons exposé les déﬁnitions et les propriétés essentielles in- tervenant au fur et à mesure dans notre travail. Ensuite nous avons étudié profondément les fonctions et les polynômes de Bessel qui sont solutions de l’équation diﬀérentielle de Bessel de second ordre. Enﬁn nous avons présenté quelques applications dans domaine de la physique pour illustrer notre études sur les fonctions et polynômes de Bessel en question. Mots clés :Fonctions de Bessel, Polynômes de Bessel, Relation de Récurrence, Fonction génératrice. 3 Abstract This dissertation is devoted to studying Bessel functions and polynomials with some applications in physics domain. First, we exposed the deﬁnitions and essential properties used in this work. Then we studied Bessel’s functions and polynomials, which are solutions of Bessel’s second-order diﬀerential equation. Finally, we presented some applications in physics ﬁelds to illustrate our studies. Keywords: Bessel Functions, Bessel Polynomials, Recurrence Relation, Generat- ing Function. 4 REMERCIEMENTS La réalisation de ce mémoire a été possible grâce au concours de plusieurs personnes à qui je voudrais témoigner toute ma reconnaissance. Je voudrais tout d’abord adresser toute ma gratitude à mon directeur de ce mémoire Professeurs I.Boussefsaf. Je désire aussi remercier très sincèrement les professeurs N. Merazga, B. Hadjou et M. Saadi d’avoir accepté de juger ce travail. Enﬁn, je tiens également à remercier tous les professeurs qui m’ont enseigné durant ces cinq années de formation. 5 INTRODUCTION La théorie des fonctions spéciales est née dans les travaux de plusieurs mathémati- ciens tels que : Euler, Gauss, Laplace, Jacobi, Riemann, Tchébychev et Bessel..., elle est depuis longtemps une discipline classique des mathématiques, qui s’enracine en analyse mathématique et qui possède un grand champ d’applications. Beaucoup de ces fonctions spéciales sont liées à des questions de physique mathématique et jouent un rôle important pour fournir des solutions de certains problèmes fondamentaux de la physique dont la dynamique est gouvernée uploads/Science et Technologie/ memoire-n0d-x27-ordre-2019 1 .pdf