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UNIVERSIT´ E DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENNE(1) FACULT´ E

UNIVERSIT´ E DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENNE(1) FACULT´ E DES MATH´ EMATIQUES D´ EPARTEMENT D’ANALYSE Notes de Cours du module S´ eries (Math 3) Par LAADJ Touﬁk(2) Pour Deuxi` eme ann´ ee Licence Domaine : Sciences et Technologies Septembre 2013 (1)USTHB : Bab Ezzouar Alger, Alg´ erie. (2)Page Web : http://perso.usthb.dz/˜tlaadj/ Table des mati` eres Table des mati` eres iii Description du Cours iv 0 Rappel sur les suites num´ eriques r´ eelles 1 1 S´ eries num´ eriques 3 1.1 G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Propri´ et´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 S´ eries ` a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 R` egles de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 S´ eries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Crit` ere de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 Crit` ere de Cauchy (ou r` egle de Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.5 Crit` ere de Raabe-Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.6 Crit` ere de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 S´ eries ` a termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 i Table des mati` eres 1.3.1 Crit` ere d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 S´ eries altern´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 S´ eries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 S´ eries commutativement convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Suites et s´ eries de fonctions 19 2.1 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.3 Th´ eor` emes de passage ` a la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 S´ eries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.3 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.4 Propri´ et´ es des s´ eries de fonctions uniform´ ement convergentes . . . . . . . 24 3 S´ eries enti` eres 26 3.1 G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.1 Existence du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.2 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Propri´ et´ es des s´ eries enti` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.1 Continuit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2 D´ erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.3 Int´ egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.4 Op´ erations sur les s´ eries enti` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ii Table des mati` eres 3.4 Fonctions d´ eveloppables en s´ erie enti` ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4.1 S´ erie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5 S´ eries enti` eres et ´ equations diﬀ´ erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4 S´ eries de Fourier 39 4.1 S´ eries trigonom´ etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.1 Repr´ esentation complexe d’une s´ erie trigonom´ etrique . . . . . . . . . . . 41 4.1.2 Calcul des coeﬃcients de la s´ erie trigonom´ etrique . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 S´ eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Science et Technologie/ lecture-notes-2-lic-st-2013.pdf