La résolution de problèmes mathématiques au collège Les guides fondamentaux pou

La résolution de problèmes mathématiques au collège Les guides fondamentaux pour enseigner Cet ouvrage a été coordonné par le service de l’instruction publique et de l’action pédagogique et le service de l’accompagnement des politiques éducatives de la direction générale de l’enseignement scolaire du ministère de l’Éducation nationale, de la Jeunesse et des Sports. Cet ouvrage synthétise des contributions de chercheurs et chercheuses, d’inspecteurs et d’inspectrices, d’enseignantes et d’enseignants. Ce document a fait l’objet d’une relecture critique de plusieurs membres du Conseil scientifique de l’éducation nationale. Sommaire 6 AVANT-PROPOS INTRODUCTION 11  Résoudre des problèmes au collège : pourquoi et comment ? 13  Prendre en compte la contrainte exercée par les conceptions intuitives 15  Favoriser le transfert 17  Mobiliser les quatre piliers de l’apprentissage 18  Considérer la modélisation comme une stratégie dans la résolution de problèmes 20  Contribuer à la formation d’un esprit citoyen 21 Développer les compétences du xxie siècle CHAPITRES 23  Données et statistiques 24  Entrée historique 26  Point sur la recherche 27 Problème 1. Nos amis les bêtes 30 Problème 2. L’allure de la courbe 33 Problème 3. Vers des mobilités douces 36 Problème 4. Changement climatique : infox ? 39 Problème 5. Comparaison de séries statistiques 43 Problème 6. Moyennes glissantes 46  Mathématiques. Les pourcentages au cœur de la citoyenneté 50  Mathématiques. Liens entre statistiques et probabilités I 55  Nombres et problèmes arithmétiques 56  Entrée historique 58 Point sur la recherche 61 Mathématiques. Les ratios et leur utilisation 62  Didactique. Le modèle en barres 63 Problème 1. Se partager des macarons 65 Didactique. Le rôle du matériel de manipulation 66  Problème 2. Les angles du triangle sont dans un ratio 68 Problème 3. Des fractions et des proportions 71 Problème 4. L’affaire est dans le sac 73 Problème 5. Plusieurs inconnues dans le jeu 76 Problème 6. Ça texte beaucoup ! 79  Problèmes algébriques 80 Entrée historique 84  Point sur la recherche 86 Problème 1. Un pattern de jetons 88 Problème 2. Un calcul surprenant 91 Problème 3. Une course cycliste 92  Problème 4. Dessine-moi une expression algébrique 94 Problème 5. La devinette 96 Problème 6. Ranger les côtés 99 Problème 7. Les nombres manquants 101  Didactique. Les variables en algèbre 102  Didactique. Du matériel de manipulation pour introduire la lettre II III 105  Patterns. Des problèmes pour travailler les pensées algorithmique et algébrique 106  Entrée historique 107  Algorithmes et motifs/patterns dans des pratiques ethnomathématiques 110 Point sur la recherche 111  Mathématiques. Définition d’un pattern 112  Focus  | Une séquence d’enseignement autour d’un pattern 116 Problème 1. Des énoncés pour des rituels 119 Problème 2. Des petits carrés 121 Problème 3. Le flocon de Koch 123  Problème 4. Des carrés et une spirale 126 Problème 5. Tel père, tel fils 129  Géométrie 130 Entrée historique 132  Point sur la recherche 133  Didactique. Les outils numériques en géométrie 136 Problème 1. On me voit ! On ne me voit plus ! 139 Problème 2. Figure trompeuse 142  Focus  | Une séquence d’enseignement autour des triangles et des aires 146  Problème 3. Le triangle mystère (raisonner pour construire) 150  Problème 4. Le grand défi (construire pour raisonner) 153  Didactique. Raisonner pour construire et construire pour raisonner IV V 157  Grandeurs 158 Entrée historique 160 Point sur la recherche 161  Mathématiques. Notions de grandeurs, mesures et unités 162 Problème 1. Le Curvica 164 Problème 2. Des robinets qui coulent 167  Problème 3. Coût carbone 170  Problème 4. Excès de vitesse ou pas ? 172  Problème 5. Comparer des formes 177  Quelles démarches pour enseigner la résolution de problèmes ? 178 Contexte 179 Point sur la recherche 184 Faire de l’explicitation un levier 186 Disposer de procédures automatisées 188  Installer des temps dédiés à la résolution de « classes de problèmes » 190  Focus  | Une étude de cas en classe de 3e autour des problèmes se modélisant par une équation 201 BIBLIOGRAPHIE ET OUTILS DE RÉFÉRENCE VI VII Avant-propos Les études internationales (Pisa, Timss) et nationales montrent une baisse inquiétante du niveau de nos élèves dans le domaine des mathématiques, mais aussi une faible performance dans le champ interdisciplinaire. Timss (niveaux CM1 et 4e) révèle que les élèves français sont sous-performants dans les domaines « nombre » et plus encore dans le domaine « présentation de données » alors que ce sont deux domaines travaillés depuis l’école primaire. D’une manière générale, la résolution de problèmes, qui est pourtant au cœur de l’enseignement des mathématiques, est un point de faiblesse de nos élèves – situation analysée dans de nombreux rapports depuis plusieurs décennies1. Les études Timss dégagent trois échelles indépendantes : connaître ; appliquer ; raisonner. Dans le domaine « connaître », les élèves français ne se distinguent pas du score moyen global des autres pays, mais marquent le pas dans les domaines « appliquer » et « raisonner ». L’étude Pisa (élèves de 15 ans) dégage quant à elle des étapes dans le raisonnement mathématique : formuler, employer, interpréter et évaluer, qui sont dans la continuité des études Timss. Là encore, les élèves français peinent à mettre en œuvre leurs connaissances et compétences acquises dans des situations concrètes2. Le présent guide propose un certain nombre d’exercices typiques des évaluations internationales (Timss niveau 4e et Pisa) et dégage, à travers des exemples concrets, des pistes d’enseignement qui pourront remédier aux principales difficultés des élèves mises en exergue dans ces évaluations. Par ailleurs, en comparant les évaluations internationales de CM1 et de 4e, on peut s’apercevoir que nombre de problèmes sont apparentés entre les deux niveaux (statistiques, gestion des données, problèmes arithmétiques mettant en jeu la maîtrise du calcul, des décimaux et des fractions, problèmes de partage, problèmes de géométrie, etc.) et nécessitent une maîtrise des outils numériques ou une aisance calculatoire. Ces évaluations indiquent aussi que des points résistants d’enseignement sont ­ largement identifiés dès les classes de CM. Les enseignants des ­ collèges et des écoles ont donc tout intérêt à proposer dans leurs classes des exercices appartenant aux banques de problèmes libérés par l’IEA3 (International Association for the Evaluation of Educational Achievement) et issus des évaluations Timss CM1 ou 4e. Ces exercices sont d’excellents supports pour la formation entre pairs, que ce soit dans les laboratoires de mathématiques quand ils existent, ou au sein des équipes des établissements et des professeurs de la circonscription de proximité. 1 — Voir le rapport Villani-Torossian : 21 mesures pour l’enseignement des mathématiques : https://www.education.gouv.fr/21-mesures- pour-l-enseignement-des-mathematiques-3242 2 — Quatre sujets sont particulièrement ciblés dans l’évaluation du Pisa 2022. Ils ne sont pas nouveaux par rapport aux catégories de contenus mathématiques, mais méritent une attention plus grande des équipes enseignantes de 3e et 2de : phénomènes de croissance (variations et relations), approximation géométrique (espace et formes), simulations informatiques (quantité), prise de décisions conditionnelles (incertitude et données). 3 — https://www.iea.nl/fr/intro 7 — Avant-propos Ce guide s’adresse donc aux professeurs de l’enseignement secondaire, mais aussi aux professeurs de l’école primaire et à leurs formateurs. Il aborde l’enseignement de la résolution de problèmes au collège dans les six premiers chapitres consacrés à des exemples mathématiques qui intègrent les six concepts clés du programme Pisa4 et développe dans le chapitre 7 quelques démarches didactiques plus théoriques qui permettront aux enseignants de prendre du recul sur leurs pratiques. Ce guide s’appuie sur des analyses mathématiques, épistémologiques et didactiques, mais aussi sur les résultats de la recherche sur l’enseignement des mathématiques et dans le domaine de la psychologie des apprentissages. Les six premiers chapitres proposent donc à la fois des entrées historiques, des points de vue de chercheurs, des rappels de mathématiques, des encarts didactiques, parfois des focus, mais surtout des exercices qui ont été analysés systématiquement sous le même angle : pourquoi proposer ce genre de problèmes en classe, quels en sont les ressorts de continuité ou de progressivité, mais surtout quelles stratégies d’enseignement mettre en place concrètement ? Les analyses faites n’ont pas la prétention d’être exhaustives et les professeurs – dans le cadre des formations entre pairs – pourront avantageusement les compléter. Les propositions d’exercices ont été sélectionnées afin de répondre à plusieurs objectifs : — mettre en valeur le continuum didactique qu’il convient de promouvoir entre l’école primaire (particulièrement les classes de cours moyen) et les classes de collège, tant au sein des contenus mathématiques que dans l’organisation des formations à destination des professeurs ; — dégager le chemin didactique qui amène, en prolongement de la résolution de ­ problèmes arithmétiques à l’école primaire, à l’émergence de la variable algébrique au collège ; — encourager le triptyque « manipuler, verbaliser, abstraire » à travers des ­ problèmes de nature arithmétique ou faisant intervenir les grandeurs ; — donner à la modélisation un rôle essentiel pour permettre à l’élève de ­ s’engager, d’essayer, de se forger des représentations mentales qui lui permettront ­ d’avancer uploads/Science et Technologie/ men-guide-mathematiques-college-2021-web.pdf

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