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Methode d x27 euler pour les edo

Résolution numérique d'une équation di ?érentielle Méthode d ? EULER Principe de la méthode d ? EULER Cas d ? une équation di ?érentielle du premier ordre dont la forme mathématique est dy f x y dx A partir de la connaissance de la valeur de y y pour une valeur de x x on peut calculer la valeur de dy dx en ce point soit F EBF EC F F F F F ED F F dy La valeur estimée de y pour dx x x dX sera prise égale à y dY y F ECF EB F ED dy dx F F F F F F dx C ? est une méthode itérative La valeur yi est déterminée en ajoutant ? yi à la valeur yi yi yi ? yi yi ? x ? f xi yi Si on note h le pas de discrétisation en x la méthode d'EULER dé ?nit deux suites ? une première qui dé ?nit les valeurs de x terme initial x relation de récurrence xi xi h ? une deuxième qui permet d'évaluer les valeurs de y terme initial y relation de récurrence yi yi h? f xi yi y yi yi dy dx h i yi x xi xi h EULER - Page sur IUFM de Lorraine - M SCHWING COn remarquera que les valeurs estimées obtenus seront d ? autant plus proches des valeurs exactes que le pas h est plus petit y y Euler y Euler x x x x x x x La courbe en trait plein correspond à la solution analytique Exemple mathématique considérons y x La solution analytique est y exp ??x l'équation di ?érentielle dy ?? x y dx avec i xi yi exp ??xi Méthode d'EULER à compléter ligne par ligne i xi yi ? y - ? xi ? yi ? ? x Yi yi ? y - ? ? ? - ? ? ? - - ? ? ? - L ? exemple ci-dessous montre que la méthode d ? EULER pourrait être mise en ?uvre à la main ? EULER - Page sur IUFM de Lorraine - M SCHWING C - La courbe en trait gras correspond à la solution exacte les points correspondent aux valeurs obtenues par la méthode d ? EULER Le principe de la méthode d ? EULER est rappelé par les segments Exercice Euler reproduire la ?gure ci-dessus Mettre en ?uvre la méthode d ? EULER avec EXCEL puis tracer manuellement ? un ou deux vecteurs tangents A B C D E F dy x yexact yeuler - D B dt EXP -B N A N A - D B pas EXP -B B D A N A N A - D B pas EXP -B B D A N A N A - D B pas EXP -B B D A N A N A - D B pas EXP -B B D A N A N A - D B pas EXP -B B D