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Bac Malien 2006 Séries :SET– MTI – MTGC Page 1 sur 5 Adama Traoré Professeur Ly

Bac Malien 2006 Séries :SET– MTI – MTGC Page 1 sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Ministère des Enseignements Secondaire, Ministère des Enseignements Secondaire, Ministère des Enseignements Secondaire, Ministère des Enseignements Secondaire, Supérieur et de la Recherche Scientifique Supérieur et de la Recherche Scientifique Supérieur et de la Recherche Scientifique Supérieur et de la Recherche Scientifique C.N.E.C.E République du Mali République du Mali République du Mali République du Mali Un Peuple Un Peuple Un Peuple Un Peuple – – – – Un But Un But Un But Un But – – – – Une Foi Une Foi Une Foi Une Foi E E E E E E E E E E E EX X X X X X X X X X X XA A A A A A A A A A A AM M M M M M M M M M M ME E E E E E E E E E E EN N N N N N N N N N N N : : : : : : : : : : : : Baccalauréat malien B B BA A AC C C S S S S S S S S S S S SE E E E E E E E E E E ER R R R R R R R R R R RI I I I I I I I I I I IE E E E E E E E E E E ES S S S S S S S S S S S SET SET SET SET S S S S S S S S S S S SE E E E E E E E E E E ES S S S S S S S S S S SS S S S S S S S S S S SI I I I I I I I I I I IO O O O O O O O O O O ON N N N N N N N N N N N Juin. 2006 É É É É É É É É É É É ÉP P P P P P P P P P P PR R R R R R R R R R R RE E E E E E E E E E E EU U U U U U U U U U U UV V V V V V V V V V V VE E E E E E E E E E E E D D D D D D D D D D D DE E E E E E E E E E E E : : : : : : : : : : : : Mathématiques Mathématiques Mathématiques Mathématiques D D D D D D D D D D D DU U U U U U U U U U U UR R R R R R R R R R R RÉ É É É É É É É É É É ÉE E E E E E E E E E E E : : : : : : : : : : : : 4 heures C C C C C C C C C C C CO O O O O O O O O O O OE E E E E E E E E E E EF F F F F F F F F F F F : : : : : : : : : : : : 5 EXERCICE 1 : ……(4,5 points) 1-/ Calculer les intégrales suivantes : a-/ ∫− − − 0 1 2 1 2 1 dx x x (On pourra mettre 1 2 1 2 − − x x sous la forme ax + b + 1 2 − x c où a ; b ; et c sont trois réels que l’on déterminera) (0,5pt) b-/ ∫ + 1 0 3 1 dx x x ( On pourra utiliser le changement de variable u = x+1) (0,5 pt) 2-/ a-/ Décomposer les nombres 450 et 320 en produit de facteurs premiers (0,5 pt) b-/ Quel est le PGCD de 450 et de 320. (0,5 pt) c-/ Une pièce rectangulaire a pour dimension 4,5m et 3,2m. On souhaite carreler cette pièce avec un nombre entier de dalles carrées, sans aucune découpe. Quel est le plus grand côté possible (en cm) de la dalle carrée ? (1pt). 3-/ Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé on désigne par (H) l’ellipse d’équation : 4x2 + 9y2 – 8x + 36y + 4 = 0. Donner l’équation réduite de (H) et préciser son centre, ses sommets et ses foyers.(1,5 pt). EXERCICE 2 :…….(4 points) Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes on considère l’équation (F) : 0 8 ) 3 2 ( 4 ) 3 2 3 ( 2 ) 3 1 ( 2 2 3 4 = + + − + + + − z z z z . a-/ Démontrer que si le complexe z0 est une solution de (F) alors il en est de même pour son conjugué 0 Z ( c'est-à-dire 0 Z est aussi une solution de (F) ). (0,5pt) b-/ Vérifier que le complexe z0 =1 + i est une solution de l’équation (F). En déduire une seconde solution z1 de l’équation.(1 pt) c-/ Déterminer les deux autres solutions z2 et z3 de l’équation (F). (1 pt) d-/ Représenter dans le plan complexe les points images des quatre solutions de l’équation (F). (Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité graphique 1cm). (0,5 pt). e-/ Déterminer la nature du quadrilatère ainsi obtenu puis calculer en cm2 l’aire de sa surface. (1 pt) Bac Malien 2006 Séries :SET– MTI – MTGC Page 2 sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Problème :…….. (11,5 points) Les parties I et II du problème sont indépendantes Partie I P est le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé ) ; ; ( j i O direct. f et g sont les applications affines de P qui associent à tout point M(x ;y) le point M’(x’ ; y’) telles que    − = + =    + = + = 1 ' 2 ' : 1 2 ' 1 2 ' : y y x x g et y y x x f 1-/ Pour chacune des applications f et g : a-/ Déterminer l’ensemble des points invariants, préciser celles qui sont bijectives. (1pt) b-/ Préciser la nature et les éléments caractéristiques de chacune d’elles (1pt). 2-/ Déterminer analytiquement la réflexion d’axe ∆ d’équation : y= x. (0,5pt) Partie II A-/ Soit f la fonction numérique à variable réelle x définie pour tout x ≠ ≠ ≠ ≠1 par : ) 1 ( 2 ) ( x xe x f x − = − On appelle (Γ) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé ) ; ; ( j i O (on ne demande pas de représenter (Γ)). 1-/ a-/ Etudier les limites de f en + ∞ et en 1. Interpréter graphiquement ces résultats.(1pt) b-/ Vérifier que pour x ≠ ≠ ≠ ≠1,f(x) peut s’écrire : . ) 1 ( 2 ) ( − × − = − x x x e x f x En déduire la limite de f(x) lorsque x tend vers – ∞. (0,75pt) 2-/ a-/ Montrer que . ) 1 ( 2 ) ( ' 2 x xe x f x − = − (0,5pt) b-/ Etudier les variations de f. (0,5pt) c-/ Montrer que f admet un minimum que l’on précisera sur ]- ∞ ; 1[. (0,5pt) B-/ On considère l’équation différentielle (E) : y’’ + 2y’ + y = 0, où y est une fonction deux fois dérivable sur ℝ. 1-/ Résoudre (E) . (0,5pt) Bac Malien 2006 Séries :SET– MTI – MTGC Page 3 sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Technique 2-/ On considère les solutions de (E ) dont la courbe représentative passe par le point A(0 ; 2 1 ). a-/ Montrer que ces solutions s’écrivent sous la forme . ) 2 1 ( x e ax − + On note x a e ax x h − + = ) 2 1 ( ) ( où a est un réel. (0,5pt) b-/ Etudier le sens de variation de ha selon les valeurs de a et montrer que pour tout réel a ≠ ≠ ≠ ≠0, ha admet un extremum pour une valeur de x que l’on déterminera en fonction de a. (1,25pt) c-/ On note Ca la courbe représentative de ha et Sa le point de Ca correspondant à l’extremum de ha ; vérifier que pour tout réel a ≠ ≠ ≠ ≠0, Sa est un point de la courbe (Γ) de la partie A-/ (0,5pt). 3-/ Construire dans le plan muni d’un repère ) ; ; ( j i O (unité 4cm) les courbes Ca pour les valeurs suivantes de a : 2 1 ; 0 ; 2 uploads/Science et Technologie/ seba-2006.pdf