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Modelisation geometrique et usinage de surfaces gauches

er Partie Modélisation géométrique et usinage de surfaces gauches Chapitre Modélisation géométrique Introduction Classi ?cation des modèles Modèle intégral de Bézier Courbe de Bézier non rationnelle Surface de Bézier non rationnelle Courbes de Bézier rationnelles Surfaces de Bézier rationnelles Modèle par morceau B- Spline Fonction de base B-spline Courbes B-spline non rationnelles Surfaces B-spline non rationnelles Courbes B-spline rationnelles Surfaces B-spline rationnelles Courbes et surfaces NURBS Conclusion C er Partie Modélisation géométrique et usinage de surfaces gauches Chapitre Modélisation géométrique Chapitre I Modélisation géométrique Introduction La conception de formes complexes particulièrement utilisées en aéronautique et en carrosserie d ? automobile a conduit au développement de modèles mathématiques très variés L ? avènement de l ? informatique et de la commande numérique a permis de concevoir et de réaliser des pièces aux formes les plus diverses De nos jours tous les systèmes de CFAO utilisent les modèles polynomiaux et permettent de modéliser les formes les plus complexes En e ?et les avantages o ?erts par les formes polynomiales en terme de diversité des formes modélisables de simplicité des traitements et manipulations et de rapidité de construction leur confèrent la préférence par rapport aux autres formes mathématiques telles que les fonctions trigonométriques exponentielles logarithmiques ou autres Les modèles implémentés dans la grande majorité des systèmes de C F A O utilisent les formes polynomiales paramétriques et ne di ?èrent de se fait que dans la base de polynômes utilisés On retrouve ainsi les polynômes de Bernstein pour le modèle de Bézier les fonctions splines pour le modèle B- spline et les polynômes d ? Hermite pour le modèle de Coons L ? utilisation de ces modèles sous leur forme rationnelle permet d ? en étendre considérablement les propriétés Léon ? Bensalah ? En e ?et sous cette forme ils permettent une représentation mathématique unique pour toutes les formes géométriques standard telles que les lignes les coniques les arcs et cercles les plans ainsi que les formes libres de courbes et de surfaces De plus ils o ?rent un grand degré de liberté permettant de générer une large variété de formes tout en véri ?ant la propriété de l ? invariance a ?ne Les paragraphes qui suivent présentent d ? une façon synthétique les modèles les plus utilisés en CFAO Nous verrons ainsi les modèles intégraux ensuite les modèles continus par morceaux et cela dans les représentations non rationnelles et rationnelles C er Partie Modélisation géométrique et usinage de surfaces gauches Chapitre Modélisation géométrique Classi ?cation des modèles Modèle intégral de Bézier Courbe de Bézier non rationnelle Une courbe de Bézier est une forme polynomiale à base de polynômes de Bernstein La ieme fonction Bernstein de degré n notée Bi n t étant dé ?nie par Bi n t ? ?? ?? ni ? ? ? ?? t n ??i t i avec ? n ? ?? ?? i ? ? n i n ?? i Une courbe de Bézier non rationnelle C t de degré n dont les Pi sont les pôles