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Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 1 Chapitre 1: Vecteurs et Torseurs M. HAMED -

Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 1 Chapitre 1: Vecteurs et Torseurs M. HAMED - 20/09/2021 Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 2 I. Vecteurs II. Torseurs Plan M.HAMED - 20/09/2021 Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 3 I- Vecteurs L’espace fondamental utilisé en mécanique classique est l’espace ponctuel euclidien à trois dimensions E. E est la schématisation mathématique de l’espace physique qui servira de repère à un observateur L’espace vectoriel attaché à E est noté E. A tout couple ordonné (A,B) de points de E est associé un vecteur de E et un seul, noté AB Si dans E on fixe un point O, alors à tout point P de E est associé un vecteur unique de E et réciproquement. OP M.HAMED - 20/09/2021 1) Introduction Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 4 2) Base canonique orthonormée d’orientation directe M.HAMED - 20/09/2021 La base canonique de l'espace ℝ3 à trois dimensions se compose des trois vecteurs : Une base est orthonormée si elle est orthogonale et si chaque vecteur est unitaire Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 5 3) Repère orthonormée d’orientation directe M.HAMED - 20/09/2021 Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 6 4) Produit scalaire et norme euclidienne M.HAMED - 20/09/2021 u v  Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 7 M.HAMED - 20/09/2021 Produit scalaire dans un repère orthonormé Démonstration : u . . .cos u v u v  = si 90 . 0 u v =  = Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 8 5) Produit vectoriel M.HAMED - 20/09/2021 Autre formule : u v  . .sin . u v u v k   = si 0 0 u v =   = si et sont unitaires sin . u v u v k    = unitaire et perpendiculaire à et à k u v  M.HAMED - 20/09/2021 Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 9 + - Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 10 6) Moment en un point d’un vecteur lié ( ) ( ) , , M P A U PA U =  Autre méthode de calcul : méthode du bras de levier U A P ( ) ( ) ( ) , , . . M P A U l U k =  k j i sortant l (bras de levier) direction du moment module du vecteur sens du moment : + : suivant k - : opposé à k M.HAMED - 20/09/2021 Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 11 7) Champ de vecteurs a) Définition b) Exemple 1 :champ des moments M.HAMED - 20/09/2021 M.HAMED - 20/09/2021 Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 12 c) Exemple 2 Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 13 II- Torseurs b) Champ de vecteur antisymétrique a) Définition d’un torseur La notion de torseur est devenue primordiale en mécanique. Le succès de cet outil mathématique provient de la concision d’écriture qu’il apporte. On l ’utilise : En Sthénique pour modéliser les actions mécaniques En Cinématique pour caractériser les champ des vitesses des points d ’un solide En cinétique et dynamique pour rendre compte des quantités de mouvement et des quantités d ’accélération M.HAMED - 20/09/2021 Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 14 c) Relation d’équiprojectivité De la définition du torseur on a : =      P M      A M  +PA R ( ) ( ) BA R M B M A +  = ( ) ( ) BP PA R M A + +  = ( ) BP R PA R M A +  +  = ( ) PA R BP R M A +  +  = ( ) M P ( ) ( ) BP R M B M P +  = ( ) ( ) BP R M B M P +  = ( ) ( ) ( ) . . BP BP M P BP R M B  +  = ( ) ( ) . . ( ) . BP BP M BP BP R M B P   = + ( ) . . ( ) BP BP M M B P = M.HAMED - 20/09/2021 Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 15 d) Invariants d’un torseur ( ) . . ( ) BP BP M M B P = ( ) M P ( ) M B B P ( ) ( ) BP R M B M P +  = ( ) ( ) ( ) . . R R M P BP R M B  +  = ( ) . ( ) . R M R BP R P  = + ( ) . . ( ) R R M M B P h CQFD  = = M.HAMED - 20/09/2021 Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 16 e) Égalité de deux torseurs f) Somme de deux torseurs M.HAMED - 20/09/2021 Chapitre1: Vecteurs-Torseurs Page 17 2) Torseurs élémentaires a) Couple b) Glisseur M.HAMED - 20/09/2021 uploads/Sante/ chapitre1-vecteurs-torseurs-ipsa.pdf