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1 Université Hassan II – Mohammedia F.S.T Mohammedia Département de Physique CO

1 Université Hassan II – Mohammedia F.S.T Mohammedia Département de Physique COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE MIP MODULE P146 Réalisé par Pr. Abderrahim HABBOU Année universitaire 2014 - 2015 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- F.S.T Mohammedia, BP 146 Mohammedia – Maroc Tél : 023 31 47 05/08 – Fax : 023 31 53 53 2 Table de matières Chapitre 1: La Mécanique ondulatoire - Fonction d'onde et Equation de Schrödinger I- Introduction II- Energie et impulsion du quantum de lumière III- Dualité onde-corpuscule Ondes de De Broglie IV- Description physique d'une particule IV-l Fonction d'onde IV-2 Mesure de la position de la particule IV-3 Ondes planes IV- 4 Paquet d'ondes V-Equation de mouvement; Equation de Schrödinger V-l Equation de Schrödinger V-2 Etats stationnaires, équation de Schrödinger indépendante du temps Chapitre II : Formalisme mathématique de la mécanique quantique I- Espace des états. Notation de Dirac I-1- Espace vectoriel Euclidien I-2 Espace Hermitien et notation de Dirac pour le produit scalaire I-3 Espace de Hilbert et espace des états I-3-1 Caractérisation d'un état quantique I-3-2 Espace de Hilbert II- Opérateurs II-1 Définition d'un opérateur II-2 Opérateur projecteur sur un sous espace II-3- Relation de fermeture II-4 Représentation d'un opérateur dans une base III- Opérateurs hermitiques IV-Valeurs propres et vecteurs propres V-Algèbre des commutateurs VI- Observable VI-l Définition VI-2- Ensemble d'observables qui commutent VI-3- Ensemble complet d'observables qui commutent 3 Chapitre III : Postulats de la mécanique quantique I- Enoncé des postulats. I-1- Description de l'état d'un système I-2- Description des grandeurs physiques. I-3- Mesure des grandeurs physiques I-4- Evolution des systèmes dans le temps II- Règles de quantification, valeur moyenne et écart quadratique moyen d'une observable II-1- Règles de quantification II-2- Valeur moyenne II-3- Ecart quadratique moyen III- Contenu physique de l'équation de Schrödinger III-l- Propriétés générales de l'équation de Schrödinger III-1-1 Déterminisme dans l'évolution des systèmes physiques III-1-2 Principe de superposition III-1-3 Conservation de la norme III-1-4 Evolution de la valeur moyenne III-1-4-1 Formule générale III-1-4-2 Application aux observables R et P (Théorème d'Ehrenfest) III-2- Cas des systèmes conservatifs III-2-1- Résolution de l'équation de Schrödinger III-2-2 Etats stationnaires Chapitre IV : Oscillateur harmonique à une dimension I- Introduction I-1- Définition I-2- L'oscillateur harmonique en mécanique quantique I-3- Propriétés générales de l'hamiltonien quantique II- Valeurs propres de l'hamiltonien II-1-Les opérateurs X et P II-2-Les opérateurs a , a+ et N ( annihilation, création et nombre d'occupation) III- Détermination du spectre III-1- Lemmes III-2- Le spectre de N est constitué des entiers non négatifs. IV-Dégénérescence des valeurs propres 4 IV-1 Le niveau fondamental est non dégénéré IV-2 Tous les niveaux sont non dégénérés V-Etats propres de l'hamiltonien V-1- La représentation {n } V- 1-1 Expression des vecteurs de base en fonction de 0 V-1-2 Relation d'orthonormalisation et de fermeture V-1-3 Actions de divers opérateurs V-2 Fonctions d'ondes associées aux états stationnaires Chapitre IV: Moments cinétiques I- Introduction II- Relation de commutation caractéristiques. II-1- Moments cinétiques orbitaux II-2- Généralisation : définition d’un moment cinétique III- Théorie générale du moment cinétique. III-1- Définition et notations III-1-1- Les opérateurs J+ et J- III-1-2- Notations pour les valeurs propres de J2 et Jz III-2-3- Equations aux valeurs propres de J2 et Jz III-2- Valeurs propres J2 et Jz III-1-1- Lemmes III-1-1-1 Lemme I (propriétés des valeurs propres de J2 et Jz ) III-1-1-2 Lemme II (propriétés du vecteur J-| k , j , m  ) III-1-1-3 Lemme III (propriétés du vecteur J+| k , j , m  ) III-1-2- Les opérateurs J = Jx  Jy ; action sur | k , j , m  III-1-3- Détermination du spectre de J2 et Jz (valeurs possibles de j et de m) IV- Application au moment cinétique orbital IV-1- Valeurs et fonctions propres de L2 et Lz IV-1-1- Equations aux valeurs propres en représentation { | r  } IV-1-2- Valeurs de l et m IV-1-2-1- l et m ne peuvent être qu’entiers 5 IV-1-2-2- Toutes les valeurs entières  0 de l sont réalisées IV-1-3- Principales propriétés des harmoniques sphériques IV-1-3-1- Expression générale de l m ( ,  ) IV-1-3-2- Relation d’orthonormalisation IV-1-3-3- Relation de fermeture 6 Chapitre 1 : LA MECANIQUE ONDULATOIRE FONCTION D'ONDE -EQUATION DE SCHRÔDINGER I- Introduction La mécanique quantique est une théorie adaptée à l'étude, compréhension et prévisions des conséquences des lois de l'espace microscopique, Cette théorie a eu historiquement pour origine une série de difficultés et de contradictions auxquelles s'est heurtée la physique classique, en cherchant à expliquer les échanges d'énergie entre la matière et le rayonnement. II- Energie et impulsion du quantum de la lumière En 1901 Max Planck établit une loi de répartition de l'énergie dans le spectre du corps noir en équilibre thermique (c à d un corps absorbant toute l'énergie incidente de la lumière), qui était conforme à l'expérience. C'est cette loi qui constitua le point de départ du développement de la théorie quantique. Cette loi se fonde sur l'hypothèse du caractère discret des processus d'émission et d'absorption de la lumière par la matière et admet donc que la lumière est émise ou absorbée par des portions finis appelées quanta de la lumière ou photon (du latin quantum : quantité). L'énergie du quantum de lumière est proportionnelle à la fréquence des oscillations lumineuses v et s'exprime par l'égalité. E = h = ħ (I.1) Ou h est la constante de Planck reconnut comme fondamentale. h = 6,6262 10-34 Joule seconde ħ = h/2 = 1.0546 10-34 Joule seconde Après qu'Einstein eut démontré qu'il est nécessaire d'attribuer au quantum de lumière, en plus d'une énergie E une certaine impulsion p=E/c dont la direction coïncide avec celle de la propagation de la lumière, la conception des quanta de lumière reçut sa forme définitive, L'introduction du vecteur d'onde k dont les composantes sont: kx = (2 /) cos ky = (2 /) cos kz = (2 /) cos  : étant la longueur d'onde et les cosinus directeurs de la normale à l'onde lumineuse. L'expression de l'impulsion du quantum de lumière sous sa forme vectorielle p = ħ k (I.2) Les formules sont les équations fondamentales de la théorie quantique de la lumière; elles établissent des corrélations entre, d'une part, l'énergie E et l'impulsion p d'un quantum de 7 lumière et d'autre part, entre la fréquence  et la longueur d'onde  d'une onde monochromatique plane dont la direction de propagation est déterminée par le vecteur k. III- Dualité onde-corpuscule - Ondes de De Broglie L'idée de base de De Broglie réside dans l'extension des lois fondamentales de la théorie quantique de la lumière (I.l) et (I.2) au mouvement des particules. De Broglie attribue à chaque particule d'énergie E et d'impulsion p se déplaçant librement, une onde plane: (r , t) = C exp [i(k r - t)] (I.3) Ou r est le rayon vecteur d'un point de l'espace arbitrairement choisi, t le temps. La fréquence  et le vecteur d'onde k de cette onde sont liés à l'énergie et à l'impulsion de la particule par les mêmes équations qui ont été établies pour les quanta de la lumière soit: E = h = ħ (I.4) p = ħ k (I.5) Ce sont les équations fondamentales de De Broglie. Pour la lumière on disposait initialement d'une conception ondulatoire à laquelle la mécanique quantique a adjoint la conception corpusculaire en introduisant les notions d'impulsion et d'énergie du quantum de lumière. Par contre pour les particules (électrons, neutrons, atomes, etc …) nous disposons à l'origine de la représentation classique du mouvement des corpuscules; conformément aux idées de De Broglie on a adjoint à ces notions classiques les conceptions de la théorie ondulatoire de fréquence  et de longueur d'onde:  = 2 /k (I.6) En portant dans (I.3) les valeurs de  et de k données par (I.4) et (I.5) nous arrivons à une nouvelle expression de l'onde (I.3). (r , t) = C exp i [(pr/ ħ) – (Et/ħ)] (I.3) Cette onde là sera appelée onde de De Broglie. IV- Description physique d'une particule IV-l- Fonction d'onde 8 Il faut d'abord, décrire l'état d'un système, c à d lui associer une représentation mathématique qui le définisse de façon opératoire. Exemple: en mécanique Newtonienne, l'état d'un point matériel de masse m est décrit à l'instant t par sa position x(t) et sa vitesse v(t) ou son impulsion p = mv Posons le principe suivant: Principe 1 a- La description d'une particule de masse m à l'instant t se fait au moyen d'une fonction d'onde complexe (r, t) dont l'interprétation physique est que la probabilité de trouver la particule à l'instant t dans un volume d3r entourant le point r est: d(P(r)) = (r , t)2 d3r (I.7) b- Toute superposition linéaire de fonctions d'ondes est une fonction d'onde possible. c- Si la particule est dans le vide et ne subit l'action d'aucune force, la fonction d'onde satisfait l'équation aux dérivées partielles. i ħ (r, t)/ t = - (ħ2/2m) (r, t) (I.8) Ou  est le laplacien  = 2/x2 + 2/y2 + 2/z2 (I.9) Remarque La mécanique quantique a ceci de particulier que uploads/Sante/ coursmecaniquequantique-habbou.pdf