CHAPITRE I : Rappels mathématiques Page 5 Chapitre I : Rappels mathématiques I-
CHAPITRE I : Rappels mathématiques Page 5 Chapitre I : Rappels mathématiques I-1 Analyse dimensionnelle : I.1.1Grandeur physique : On appelle grandeur physique, toute grandeur qui peut être mesurée , ou calculée à partir d'autres grandeurs dites grandeurs de base. Par exemple : on peut définir les deux grandeurs la distance et le temps en mesurant les deux, tandis que la vitesse se calcule en divisant la distance parcourue par le temps de parcours, dans ce cas la distance et le temps sont des grandeurs de base, la vitesse est une grandeur dérivée. La plupart des grandeurs physiques découlent les une des autres ainsi que de quelques grandeurs de base. En fait les grandeurs de base utilisées en mécanique sont la masse, la longueur et le temps. I.1.2 Système International d’Unités (SI): Le système international (SI) est constitué de 7 unités de base (fondamentales) correspondant à 7 grandeurs physiques comme le résume le tableau suivant : GRANDEUR UNITÉ SYMBOL E DE L’UNITÉ Longueur meter m Masse kilogram kg Temps second s Intensité de courant electrique Ampere A Intensité lumineuse candela cd Quantité de la matière mole mol Tableau I.1 : Gradeurs physique du (SI) I.1.2. Les multiples et les sous multiples I.1.2.a- Les multiples : Grandeurs de base en mécanique Langueur Masse Temps www.alloacademy.com CHAPITRE I : Rappels mathématiques Page 6 10X 10+1 10+2 10+3 10+6 10+9 10+12 10+15 10+18 Préfixe deca hecto kilo mega géga téra péta exa Symbole da h k M G T P E I.1.2.b.- Les sous multiples : 10X 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 Préfixe deci centi milli micro nano pico femtto atto Symbole d c m ȝ n p f a Tableau I.2 :(a) Les multiples et (b) les sous multiples. c- Les unités dérivées : Toutes les unités des grandeurs physiques (à l’exception de celles précitées) dérivent des unités fondamentales cités ci-dessus. Exemple : Newton (1N = 1kg.m.s-2), Joule(J), Ohm(ȍ)… d- Les unités secondaires : En plus des unités fondamentales il existe des unités secondaires pour quelques grandeurs. Exemple : La température : degré Celsius (°C), volume : litre(l), pression : atmosphère(at), énergie :calorie(cal)… e- Une unité supplémentaire: L’unité officielle pour les angles plans est le Radian (rad). Elle constitue une unité supplémentaire aux sept unités citées ci-dessus. I.1.3 Dimension d’une grandeur fondamentale: Le mot dimension en physique indique la nature physique de la quantité. Exemple 1: La distance a la dimension de la longueur notée L : [distance]= L. Grandeur G Symbole de la dimension [G] Longueur L Masse M Temps T Température ș Intensité du courant électrique I Intensité lumineuse Cd Quantité de la matière N Tableau I.3 : Symboles des dimensions fondamentales. Exemple I.2 : Le volume a la dimension de L3 : [V]= LLL=L3 La vitesse a la dimension de la (longueur / temps) : [v]= L/T= L.T-1 www.alloacademy.com CHAPITRE I : Rappels mathématiques Page 7 I.1.4 Les équations aux dimensions : Définition : Dans le cas général l’équation aux dimensions de la grandeur (G), est la suivante : [G]= MaLbT c Idșe Nf Jg Dans le domaine limité de la mécanique du point matériel, l’équation aux dimensions de la grandeur dérivée (G) est l’expression suivante : [G]=MaLbT c Avec M, L, T …et J sont respectivement les symboles de la masse, de la longueur, temps… a, b, … g des exposants caractérisent la grandeur dérivée G des nombres réels. Remarques: * Grandeurs adimensionnées ou sans dimension : touts les exposants sont nuls . ** les fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques ainsi que les constantes, et tout ce qui se trouve à l’intérieur de ces fonctions ont pour dimension la valeur1. [ex]=1, [Log x]=1, [4]=1, [sin x]=1, [ʌ]=1... Exemple I.3 : Déterminer l’équation aux dimensions de l’accélération et de la force ? Exprimer l’unité de chaque grandeur en SI (système internationale). Réponse : l’accélération : o t v a > @ > @ > @ t v a > @ > @ 2 1 . . o T L a T T L a , l’unité : ms-2 La force: o ma f > @ 2 MLT f , l’unité : kgms-2 Exemple I.4 : Déterminer l’équation aux dimensions du travail et de l’énergie. Réponse : > @ 2 2 2 . o T ML L MLT W d f W , l’unité : kgm2s-2 * L’analyse dimensionnelle permet de vérifier l’homogénéité d’une formule : Exemple I.5: Vérifier l’homogénéité de l’expression 2 2 1 at x , avec x est la distance, a est l’accélération et t est le temps. Réponse : > @ L T LT at L x » ¼ º « ¬ ª 2 2 2 1 2 1 Donc l’expression est homogène . ** L’analyse dimensionnelle permet de passer d’un système d’unités à un autre : Exemple I.6 : Trouver l’équivalent de l’unité Joule en SI. Réponse : > @ Joule T ML L MLT E mv E 1 1 2 1 2 2 2 2 { o (I.1) (I.2) www.alloacademy.com CHAPITRE I : Rappels mathématiques Page 8 *** L’analyse dimensionnelle permet de déterminer la structure des lois physiques compatible avec les grandeurs décrivant le phénomène étudié ( longueur, vitesse, force, résistance électrique, champ électrique …) Exemple I.7 : Exprimer par l’analyse dimensionnelle la période W d’oscillation d’un pendule simple, sachant que les grandeurs physiques variables sont m, g, l Réponse : La période du pendule > @ > @ > @ > @ J E D W g l m o > @ > @ 2 1 , 2 1 , 0 2 1 0 0 o o J E D W W J J E D J J E D J J E D T L M T L M T L M T T avec T L M l’expression possible est avec C=2ʌ g l C W g l S W 2 www.alloacademy.com CHAPITRE I : Rappels mathématiques Page 9 I.2 Calcul vectoriel : Les grandeurs physiques peuvent être de nature scalaire ou vectorielle. I.2.1 Grandeur scalaire et grandeur vectorielle : Pour spécifier une grandeur scalaire il suffit de préciser un nombre (et le plus souvent une unité). Exemple: L’énergie, La température, la pression en un point, le potentiel, la masse… Une grandeur vectorielle est définie par une direction, un sens, et une intensité Exemple : la force, L’accélération, la vitesse … I.2.2 Représentation d’un vecteur : La direction est la droite qui porte le vecteur : Elle est définie par l’angle mesuré entre le vecteur et l’axe des abscisses. Le sens représente l’orientation origine-extrémité du vecteur et est symbolisé par une flèche. L’intensité :(appelée également norme ou module) représente la valeur de la grandeur mesurée par le vecteur. Graphiquement elle correspond à la longueur du vecteur (Figure I.1) Le point d’application est le point qui sert d’origine à la représentation du vecteurܸ ሬԦ. - Notation d’un vecteur ܸ ሬԦ=ܣܤ ሬሬሬሬሬԦ ( V= AB ou en gras notation anglo-saxonne). Figure I.1 : Représentation et notation d’un vecteur ܸ ሬԦ=ܣܤ ሬሬሬሬሬԦ I.2.3Proprietés des vecteurs : a-Vecteur libre : Un vecteur libre si son point d’application n’est pas fixe. (figure I.2 .a). b-Vecteur glissant : Un vecteur est nommé "vecteur glissant" si l'on impose sa droite support (Ǽ) sans fixer son point d’application. (figure I.2 .b). c-Vecteur lié :Un vecteur AB est appelé "vecteur lié" si l'on fixe son origineA(figure I.2 .c). Figure I.2 : a-Vecteur libre, b-Vecteur glissant et c-Vecteur lié ฮܸ ሬԦฮ= L’intensité du vecteur B A L’extrémité du vecteur B L’origine du vecteur A ܸ ሬԦ a b x AB c V ሬ ሬԦ www.alloacademy.com CHAPITRE I : Rappels mathématiques Page 10 I.2.4-Vecteur unitaire: Un vecteur unitaireu ሬԦ est un vecteur dont le module est égal à1.On peut exprimer un vecteur unitaire sous la forme : u ሬԦ = ሬ ሬԦ ฮ ሬ ሬԦฮ Figure I.2: Le vecteur unitaire u ሬԦ de vecteur V ሬ ሬԦ Exemple : Les vecteurs unitaires de la base cartésienne sont : (Ç Ԧ, ଌ Ԧ, k ሬԦ ) Ç Ԧ= Vecteur unitaire suivant (Ox) ଌ Ԧ= Vecteur unitaire suivant (Oy) k ሬԦ= Vecteur unitaire suivant (Oz) Figure I.3: La base cartésienne orthonormée(Ç Ԧ, ଌ Ԧ, k ሬԦ ) Pour repérer un point M dans l’espace on utilise le repère cartésien orthonormé tridimensionnel (figure I.5) composé de trois axes, Ox, Oy et Oz, mené d’une base orthonormée directe (Ç Ԧ, ଌ Ԧ, k ሬԦ ). I.2.5.Composantes d’un vecteur : I.2.5.b Dans l’espace (En 3D) : La position d’un point M dans l’espace est caractérisée par le vecteur position OM ሬሬሬሬሬሬԦ: OM ሬሬሬሬሬሬԦ = xÇ Ԧ+yଌ Ԧ + zk ሬԦ (I.4) x, y et z les projections de M sur les axes Ox, Oy et Oz, respectivement. Mƍ étant sa projection sur le plan ( O, x, y ). Coordonnées de M(x, y, z) Composantes de ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § z y x OM u ሬԦ V ሬ ሬԦ (I.3) uploads/Sante/ rappel-mathematique.pdf
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- Publié le Sep 09, 2021
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