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MODELISATION MATHEMATIQUE I. INTRODUCTION Il serait difficile de parler de la m

MODELISATION MATHEMATIQUE I. INTRODUCTION Il serait difficile de parler de la modélisation mathématique d’une manière unifiée étant donnée la diversité des problèmes physiques comme on peut le noter. Dans le présent chapitre, les caractères communs aux modèles mathématiques seront exposés, la méthodologie suivie dans l’élaboration d’un modèle mathématique sera abordée dans ses points les plus importants et les liens avec la modélisation physique et la modélisation numérique seront enfin exposés Pour rendre l’exposé facile à lire et permettre une vision plus claire du sujet, des exemples types de l’ingénierie civile seront étudiés parallèlement, leur mise en équation sera indiquée plus tard quand on possédera les outils physiques et mathématiques nécessaires et qui sont abordés dans les chapitres suivants. Les reports aux chapitres suivants seront signalés et on est priés de se reporter aux chapitres mentionnés. La modélisation est la représentation simplifiée d’un système ou d’un phénomène réel afin d’en décrire le comportement ou d’en analyser et prédire l’évolution On peut d’ores et déjà distinguer deux sortes de modélisation : - la modélisation physique - la modélisation mathématique II. MODELISATIONS PHYSIQE ET MATHEMATIQUE La modélisation physique s’intéresse directement à la réalité en opérant des mesures et des observations, lesquelles sont ensuite utilisées pour décrire le comportement ou l’évolution du système étudié. On passe ici du système tel qu’il se présente dans la réalité à un système équivalent qu’on peut désigner par prototype ou maquette en utilisant, le cas échéant, les propriétés de similitude (par exemple). C’est une représentation matérielle du système. La modélisation mathématique désigne le processus par lequel un phénomène ou un système physique est décrit par un ensemble d’équations mathématiques. Elle consiste en l’utilisation du formalisme mathématique pour représenter une situation réelle. Ces deux modélisations peuvent être combinées parfois pour aboutir au modèle mathématique d’un phénomène ou un système physique donné III. MODELISATION MATHEMATIQUE III.1 Classes de modèles mathématiques La modélisation mathématique d’un système physique peut avoir deux caractères différents qui dépendent de la nature de l’objectif visé : - Modèles à caractère descriptif ; concerne généralement un état statique du système qu’on décrit par un formalisme mathématique ne faisant pas intervenir le temps - Modèle à caractère prédictif ; cherche à anticiper des évènements dans le temps. Par ce modèle, on essaye de prévoir mathématiquement l’état d’un système à un instant donné, en partant de son état à un instant antérieur connu. La modélisation mathématique basée sur le principe du déterminisme, lui-même basé sur le principe de causalité, aboutit à ce qu’on nomme un modèle déterministe. La modélisation basée essentiellement sur l’observation ou la mesure physique aboutit à ce qu’on appelle un modèle empirique. Un modèle n’est cependant pas d’un caractère exclusif car il y a toujours une part d’empirisme ou une part de déterminisme. . Le modèle mathématique peut inclure des formulations à caractère empirique ou probabiliste, par exemple quand il nécessite l’introduction de formules hydrologiques ou bien encore quand il incorpore des modèles de clôture des équations de la turbulence. III.2 Objectif du modèle Le processus de la modélisation mathématique commence d’abord par la définition de l’objectif de cette modélisation, c'est-à-dire pourquoi chercher à élaborer le modèle mathématique ? L’objectif défini doit ensuite être formulé mathématiquement après avoir cerné les différentes variables qui entrent dans sa définition. L’exemple illustratif est celui du modèle mathématique simulant l’écoulement à surface libre dans un canal. Cet exemple a été abordé dans le cours, sur lequel il faut retourner en l’occurrence. La présence d’un ouvrage de retenue oblige à considérer le problème sécuritaire qui consiste en la protection de la vallée à l’aval de l’ouvrage contre une inondation résultant de la destruction de celui-ci. Retenue h(x,t) L’objectif est, en d’autres termes, la détermination des surfaces inondées à l’aval de l’ouvrage après sa rupture. Supposons que l’on connaisse la topographie du terrain dans cette zone, il suffirait alors de déterminer la profondeur de l’eau en toute section transversale de la vallée et tout instant supérieur à l’instant ou survient la rupture. D é terminer h (x ,t) pour0≤x≤Let pourt ≥t 0 C’est la formulation mathématique de l’objectif que doit viser le modèle mathématique. III.3 Etude phénoménologique Une étude phénoménologique est nécessaire avant tout, afin d’avoir une idée plus précise sur le phénomène physique, et aussi afin d’identifier les grandeurs physiques qui interviennent dans le déroulement du phénomène physique ou dans l’évolution du système étudié. En général, les grandeurs collectées n’interviennent pas toutes avec la même importance, et il faut distinguer entre grandeurs naturelles qui gouvernent directement l’évolution du système et les autres grandeurs qui peuvent être subsidiaires ou qui peuvent être considérées comme des contraintes. Il faut ensuite se limiter à l’ensemble des grandeurs de telle sorte à ce que le modèle soit conforme avec le principe de déterminisme qui est basé lui-même sur la causalité. La cohérence de cet ensemble est dans certains cas compliquée à satisfaire, de telle sorte que l’on puisse être conduit à changer de grandeurs quand le modèle mathématique l’exige. Quand on considère le fond fixe, les variables à considérer sont en nombre moindre que si le fond est mobile ou sujet à une érosion sous l’action de l’écoulement. Ce dernier commentaire rappelle la définition des grandeurs de base quand on procède à une analyse dimensionnelle (voir chapitre correspondant). Trois blocs de variables doivent donc être constitués : - Géométrie de la vallée et état de sa surface - Propriétés physiques de l’eau - Ecoulement caractérisé essentiellement par la gravité Le nombre de grandeurs d’une part, et le caractère aléatoire de certaines grandeurs d’autre part, rendent l’approche mathématique fastidieuse sinon superflue. Cela conduit à ce qu’on appelle un modèle abstrait construit de manière simple sans altérer le caractère général du système réel. Dans le cas actuel, on peut remplacer la vallée par un canal rectiligne à section transversale constante et ainsi on simulera la propagation de l’onde (voir ci-dessous) de submersion dans ce canal. Le système constitué du barrage d’une part, et de la vallée aval et du fluide en mouvement d’autre part, possède un certain état initial qui est l’état de ce système juste avant la rupture ; on peut alors noter le caractère prédictif du modèle à élaborer. A noter que la nature de l’onde dépend de la nature de la rupture de l’ouvrage de retenue. III.4 Support physique et outils mathématiques Après l’étude qualitative exhaustive du système physique, il reste à collecter les outils nécessaires pour simuler mathématiquement son évolution. Ceci consiste en la collecte et l’adaptation des lois physiques qui gouvernent cette évolution. Pour l’exemple étudié ici, et qui consiste en la propagation d’une onde dans un canal, on dispose des théorèmes fondamentaux de la mécanique : - Conservation de masse - Conservation de la quantité de mouvement On dispose également de lois empiriques ou semi empiriques pour la détermination de la résistance de la paroi à l’écoulement fluide (relation de Chézy et formules de Manning- Strickler comme exemple) Le modèle mathématique est formé de toutes ces équations et des conditions de résolution qui correspondent ici à la détermination de l’état initial du système et des conditions aux limites, ces dernières simulant le mode de rupture de l’ouvrage. Le modèle mathématique est constitué donc d’un ensemble d’équations (ici différentielles aux dérivées partielles comme il sera vu ultérieurement) accompagnées des conditions initiales et aux limites, il faut, pour une résolution pour le cas considéré, s’assurer de l’existence et de l’unicité de la solution. Se reporter aux théorèmes mathématiques dont celui de Cauchy-Kovalevska. La résolution de la plupart des systèmes d’équations mathématique est numérique. Il reste donc à choisir la méthode numérique adéquate pour la résolution car elle dépend beaucoup de la nature des équations et du caractère du modèle. Les résultats de la résolution doivent être confrontés à la réalité pour s’assurer de l’efficacité du modèle mathématique à simuler correctement le comportement du système physique étudié. III.5 Abstraction physique L’abstraction ici est le fait de remplacer le système physique réel par un modèle aussi physique mais beaucoup plus simple, ce qui facilite la modélisation qui sera menée par cascade, c’est dire en introduisant à chaque fois des transformations qui nous font rapprocher de la réalité. III.5 Extensibilité du modèle mathématique Un modèle mathématique ne doit pas être restreint à un système réel donné, il doit couvrir une classe de systèmes. Ceci conduit à parler de l’extensibilité du modèle en ce sens qu’il puisse être étendu et non restreint. Le champ d’application du modèle mathématique doit être étendu pour s’appliquer à toute une classe de systèmes réels Il peut arriver que le modèle mathématique construit ne concorde pas avec l’évolution réelle du système (ou phénomène) réel. Dans ce cas ci, il faut retourner sur les points suivants en général : - Collecte des grandeurs physiques, i.e., ou bien elle est incomplète ou bien elle contient trop de paramètres - Hypothèses simplificatrices Des modèles mathématiques seront suivis le long de ce cours afin de mettre en évidence ce qui caractérise le travail de modélisation. Ces modèles seront établis en suivant au mieux les étapes citées uploads/Sante/ chmm1.pdf