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Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Lycée Clemenceau PCSI 1 (O.G

Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Lycée Clemenceau PCSI 1 (O.Granier) Le champ magnétique La loi de Biot et Savart Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique I – Présentation du champ magnétique 1 - Introduction : L’électrostatique est l’étude des interactions entre particules chargées immobiles. La magnétostatique est l’étude des interactions entre particules chargées en mouvement (en régime indépendant du temps). Certains corps aimantés (comme la magnétite, Fe3O4) attire le fer. L’acier, par frottement contre un aimant naturel, acquiert des propriétés équivalentes. Des conducteurs parcourus par des courants sont également sources de champs magnétiques. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique (Ci-contre : lignes du champ magnétique créé par un barreau aimanté) Les interactions électriques et magnétiques sont étroitement liées (exemple : phénomène d’induction). Elles représentent deux aspects différents d’une seule propriété de la matière : sa charge électrique. Le magnétisme est une manifestation des charges électriques en mouvement. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Lignes de champ magnétique, pôle nord, pôle sud : Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Champ magnétique terrestre : Il ressemble à celui d’un barreau aimanté incliné. Une aiguille de boussole s’aligne dans la direction du champ, approximativement vers le pôle nord géographique, qui n’est pas très loin du pôle magnétique sud de la Terre. Ce champ s’étend jusqu’à des milliers de kilomètres dans l’espace et possède la symétrie de révolution autour de l’axe du barreau aimanté fictif. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique N N N S N N S S S S S N N S N S N S Dipôles magnétiques : Les fragments d’un barreau aimanté ont toujours deux pôles (un pôle nord et un pôle sud). Un aimant se comporte comme s’il était composé de petites unités bipolaires, appelées dipôles magnétiques. Il n’existe pas de monopôles magnétiques (équivalents des charges électriques ponctuelles). Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique N S S N Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 2 – Définition du champ magnétique : On considère une particule ponctuelle q placée au point M. Au voisinage d’un aimant ou d’un conducteur parcouru par un courant, elle est soumise à la force magnétique : Cette force permet de définir le champ B (par l’intermédiaire de la charge test q, de la même manière qu’en électrostatique). Unités du champ magnétique : Dans le SI : le Tesla (T) Le Gauss : B v q f r r r ∧ = T G 4 10 1 − = Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique II – Les sources du champ magnétique Le but de ce chapitre est d’étudier les champs magnétiques créés par des conducteurs parcourus par des courants. Ces courants peuvent être volumiques, surfaciques ou linéiques. 1 – Répartition volumique de courant : On considère un ensemble de particules de charge q, de densité particulaire n et ayant un mouvement d’ensemble à la vitesse v. On notera dans la suite : la densité de charges mobiles (exprimée en C.m – 3). Comment définir l’intensité qui traverse une surface dS quelconque ? nq m = ρ Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique La quantité de charges électriques dq qui traverse la surface élémentaire dS pendant l’intervalle de temps dt est : Soit : Or : D’où : n r θ v r dt v r dS θ τ cos ) )( ( dS vdt d Volume = M (q) v r q d n dq τ = dt dS v nq dq θ cos = dt dS n v dS v r r. cos = θ dt dS n v nq dq r r). ( = Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique L’intensité électrique di qui traverse la surface dS est ainsi : On voit que l’intensité s’interprète comme étant le flux du vecteur : n r θ j r dS dS n v nq dt dq di r r). ( = = v v nq j m r r r ρ = = à travers la surface dS orientée. Le vecteur j est appelé vecteur densité volumique de courant électrique. A travers une surface « finie » (S), on écrira (flux total du vecteur j à travers la surface totale S) : ∫∫ = ) ( . S dS n j i r r Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Flux de j et conservation de la charge : n r j r dS ∫∫∫ = ) ( ) , ( ) ( V m d t M t Q τ ρ On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d’étude). Soit ρ ρ ρ ρm la densité volumique de charges mobiles dans le milieu. La charge totale Q(t) comprise dans le volume à l’instant t vaut : V Volume La conservation de la charge électrique permet d’écrire : S travers à t i dt t dQ ) ( ) ( − = ρ ρ ρ ρm Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Par conséquent : Le volume V étant fixe : Finalement, le principe de conservation de la charge conduit à : ∫∫ ∫∫∫ − =       ) ( ) ( . ) , ( S V m dS n j d t M dt d r r τ ρ ∫∫∫ ∫∫∫ ∂ ∂ =       ) ( ) ( ) , ( ) , ( V m V m d t t M d t M dt d τ ρ τ ρ ∫∫ ∫∫∫ − = ∂ ∂ ) ( ) ( . ) , ( S V m dS n j d t t M r r τ ρ Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique On choisit un vecteur densité de courant dirigé selon (Oz), à symétrie cylindrique (la norme de j ne dépend que la distance r à l’axe (Oz)). Par exemple : L’intensité à travers dS est alors : Et : Exemple 1 : (cylindre infini parcouru par un courant volumique) O x y z M z r θ θ θ θ z u r j j r r ) ( = z z u j R r u r j j r r r 0 ) ( = = dS θ d rdr r j dS r j di ) ( ) ( = = ∫ ∫ = R d rdr r j i 0 2 0 ) ( π θ ∞ ∞ Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Soit : Si le vecteur j avait été constant (et égal à j0), alors l’intensité à travers une section quelconque du cylindre aurait été : O x y z M z r θ θ θ θ z u r j j r r ) ( = dS ∫ = = R j R dr j R r i 0 0 2 0 2 3 2 2 π π 0 2 j R i π = ∞ ∞ Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Exemple 2 : (Boule chargée en rotation) Une sphère de rayon R porte une charge Q uniformément répartie en volume (avec une densité notée ρ ρ ρ ρ). Elle tourne autour de l’un de ses diamètres à la vitesse angulaire ω ω ω ω constante dans le référentiel du laboratoire. M z ω r O r < R Vecteur densité de courant : ) 4 3 ( 3 R Q v j π ρ ρ = = r r Avec , il vient : ϕ θ ω u r v r r sin = ϕ θ ω ρ u r j r r sin = ϕ u r Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 2 – Répartition surfacique de courant : Lorsque la distribution de courants se trouve confinée sur une épaisseur très faible (par rapport aux deux autres dimensions d’espace), on pourra utiliser une modélisation surfacique. h l d dS j r n r modélisation volumique modélisation surfacique l r r r r d h n j dS n j di . . = = l d s j r n r v j m r r ρ = v j m r r σ = l r r d n j di s. = m ρ m σ Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 3 – Répartition linéique de courant : Les conducteurs de faible section sont assimilés à des fils. Le courant « linéique » est alors simplement le courant parcouru par le fil. ) , ( 1 t M i ) , ( 2 t M i M1 M2 Circuit filiforme Le courant électrique dépend a priori du temps et du point M. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique III – La loi de Biot et Savart Cette loi a été énoncée en 1820 par les physiciens uploads/Sante/ biot-savart-pdf.pdf