Université de Paris – Sections PHY/DLPC/EPC/CUPGE/STEP Interactions Maths-Physi
Université de Paris – Sections PHY/DLPC/EPC/CUPGE/STEP Interactions Maths-Physique – Contrôle continu n◦3 – 03 décembre 2019 Partie “Physique” – durée : 1h Sujet B Exercice 1 - Pendule chargé à l’équilibre (3,75 points) blabla La figure ci-dessus représente un pendule chargé électriquement, constitué par une sphère métallique de masse m portant une charge q positive. Cette sphère est reliée à un support fixe par un fil de longueur l, et subit donc une force de tension ⃗ T, dirigée selon la direction du fil et de norme notée T. On soumet la sphère à un champ électrique ⃗ E, horizontal et de norme E, et donc à une force électrique donnée par ⃗ Fe = q ⃗ E. La sphère est également soumise à l’attraction terrestre ⃗ P, verticale et dirigée vers le bas, de norme mg. On souhaite déterminer comment la position d’équilibre du pendule, caractérisée par l’angle θeq par rapport à la verticale, dépend des contraintes extérieures imposées. On utilisera dans cet exercice la base de vecteurs unitaires ( ⃗ i,⃗ j), avec⃗ i un vecteur horizontal et ⃗ j un vecteur vertical. 1. Dans ce problème, qu’est ce qui est considéré comme une inconnue, et qu’est ce qui est considéré comme un paramètre ? θeq et T sont les inconnues. m, l, q, E et g sont les paramètres 2. A l’aide des informations de l’énoncé, exprimer les forces ⃗ T, ⃗ P et ⃗ Fe dans la base ( ⃗ i,⃗ j). ⃗ T = T(−sin θeq⃗ i + cos θeq ⃗ j) ⃗ P = −mg ⃗ j et ⃗ Fe = qE⃗ i 3. A l’aide du principe fondamental de la dynamique appliqué à cette situation d’équilibre, déterminer deux équations scalaires faisant intervenir l’angle d’équilibre θeq. ⃗ T + ⃗ P + ⃗ Fe = ⃗ 0 1 Il en découle les deux équations scalaires : −T sin θeq + qE = 0 T cos θeq −mg = 0 4. En déduire la position d’équilibre du pendule, c’est à dire la valeur de l’angle θeq en fonction des paramètres du problème. Vérifier l’homogénéité de votre résultat. On exprime T en fonction des paramètres du problème à partir de la seconde équation et on injecte son expression dans la première. T = mg cos θeq sin θeq cos θeq = qE mg →θeq = arctan( qE mg) [qE] [mg] = MLT −2 MLT −2 = sans dimension [θeq] = sans dimension Exercice 2 - Dérivée et dimensions physiques (2,75 points) On définit f(w) = u2 u2+(w−b)2, avec u une distance constante. 1. Avant tout calcul, quelle doivent être la dimension de b, de w et de df dw ? [b] = [w] = [u] = L df dw = [df] [dw] = 1 L 2. Calculer cette dérivée, et vérifier explicitement l’homogénéité du résultat. df dw = −2u2(w −b) (u2 + (w −b)2)2 df dw = L3 L4 = 1 L 3. En déduire la petite variation infinitésimale df obtenue lorsque l’on passe de w à w + dw. df = −2u2(w −b) (u2 + (w −b)2)2dw 4. Discuter du signe relatif de d f et dw sur l’intervalle des valeurs possibles pour w. Si dw > 0, alors df < 0 lorsque w > b et df > 0 lorsque w < b (et inversement) Exercice 3 - Equation différentielle du premier ordre (3 points) 1. Trouver par la méthode de séparation des variables la solution générale de l’équation différentielle du dv −1 = αu, avec α une constante. 2 du 1 + αu = dv d( 1 αln|1 + αu|) = dv ln|1 + αu| = αv + K u(v) = 1 α(K1eαv −1) 2. Vérifier explicitement votre résultat, c’est-à-dire le fait que la solution générale trouvée est bien solution de l’équation différentielle. du dv = K1eαv et 1 + αu = K1eαv On retrouve donc du dv −1 = αu 3. Trouver ensuite quelle solution particulière de cette équation différentielle vérifie u(0) = 1 α. u(0) = 1 α(K1 −1) = 1 α →K1 = 2 u(v) = 1 α(2eαv −1) 4. Vérifier explicitement votre résultat, c’est-à-dire le fait que la fonction trouvée satisfait à la condition aux limites. u(0) = 1 α(2 −1) = 1 α Exercice 4 - Calcul d’intégrales en physique (2,25 points) On considère l’intégrale suivante : I = R T 0 v0 e(−t τ ) dt (v0 désigne une vitesse, T un temps). a) Avant tout calcul, préciser quelle est la dimension physique de l’intégrale I à calculer. [I] = h v0 e(−t τ ) dt i avec [v0] = LT −1, h e(−t τ ) i = sans dimension et [dt] = T [I] = L b) Calculer l’intégrale I, en fonction des diverses constantes physiques intervenant dans sa définition. Vérifiez explicitement sa dimension. I = h −v0τ e(−t τ )iT 0 I = v0τ 1 −e(−T τ ) h v0τ 1 −e(−T τ )i = LT −1 T = L 3 Exercice 5 - Intégrales et changement de variable (2,25 points) Calculer l’intégrale suivante : L = R x0+H x0 (x−x0)e−( x−x0 H )2 dx à l’aide du changement de variable z = (x−x0 H )2, en prenant soin de détailler les différentes étapes du changement de variable. x0 et H sont des constantes. dz = 2 H2(x −x0)dx (x −x0)e−( x−x0 H ) 2 dx = H2 2 e−z dz xA = x0 →zA = 0 et xB = x0 + H →zB = 1 L = Z 1 0 H2 2 e−z dz L = H2 2 [−e−z]1 0 L = H2 2 (1 −e−1) 4 uploads/Sante/ correction-imp-2019-2020-cc3-physique-sujet-b-a-ne-consulter-qu-apres-avoir-travaille-l-epreuve.pdf
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- Publié le Jui 01, 2021
- Catégorie Health / Santé
- Langue French
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