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PSI - Lycée Bellevue Physique Physique des ondes -Corrigé du TD n˚3 Dispersion

PSI - Lycée Bellevue Physique Physique des ondes -Corrigé du TD n˚3 Dispersion et absorption - Cas du câble coaxial Physique des ondes - TD n˚3 Dispersion et absorption - Cas du câble coaxial Solutions Exercice I : Adaptation d’impédance Tristan Brunier Page 1/8 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Physique Physique des ondes -Corrigé du TD n˚3 Dispersion et absorption - Cas du câble coaxial 3. (a) v(x, t) = ZcA ej(ωt−kx) −ZcB ej(ωt+kx) . En x = 0 : v(0, t) i(0, t) = Zu = Zc 1 −B A 1 + B A On en déduit B A = Zc −Zu Zc + Zu Il n’y a pas d’onde réﬂéchie si Zu = Zc : on parle d’adaptation d’impédance. (b) En x = 0, on a v(0, t) i(0, t) = Zu = Z′ c A −B A + B En x = −λ/4, on a Zeq = v(−λ/4, t) i(−λ/4, t) = A ejπ/2Z′ c −B e−jπ/2Z′ c Aejπ/2 + Be−jπ/2 = Z′ c A + B A −B On en déduit Zeq = Z′2 c Zu (c) L’onde réﬂéchie est supprimée si Zeq = Zc, c’est-à-dire si Z′2 c = Zu Zc . Tristan Brunier Page 2/8 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Physique Physique des ondes -Corrigé du TD n˚3 Dispersion et absorption - Cas du câble coaxial Exercice II : Câble coaxial avec pertes Tristan Brunier Page 3/8 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Physique Physique des ondes -Corrigé du TD n˚3 Dispersion et absorption - Cas du câble coaxial Tristan Brunier Page 4/8 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Physique Physique des ondes -Corrigé du TD n˚3 Dispersion et absorption - Cas du câble coaxial Tristan Brunier Page 5/8 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Physique Physique des ondes -Corrigé du TD n˚3 Dispersion et absorption - Cas du câble coaxial Exercice III : Ondes mécaniques sur des pendules couplés 1. Chaque pendule est soumis à son poids, aux actions exercées par les ﬁls de torsion reliés à ses deux voisins, et au couple de frottements ﬂuides. Le théorème du moment cinétique appliqué au point ﬁxe On dans le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen s’écrit en projection sur l’axe Onx : mℓ2 3 ¨ θn = −C (θn −θn+1) −C (θn −θn−1) −mgℓ 2 sin θn −f ˙ θn 2. En utilisant l’approximation des milieux continus, on obtient : mℓ2 3 ∂2θ ∂t2 = −C [θ(x, t) −θ(x + d, t)] −C [θ(x, t) −θ(x −d, t)] −mgℓ 2 sin θ −f ∂θ ∂t 3. En utilisant les développements de Taylor à l’ordre 2 suivants : θ(x + d, t) = θ(x, t) + d ∂θ ∂x + d2 2 ∂2θ ∂x2 et θ(x −d, t) = θ(x, t) −d ∂θ ∂x + d2 2 ∂2θ ∂x2 en réinjectant dans l’expression précédente, on obtient : mℓ2 3 ∂2θ ∂t2 = Cd2 ∂2θ ∂x2 −mgℓ 2 sin θ −f ∂θ ∂t On obtient donc une équation aux dérivées partielles non-linéaire à cause du terme sin θ. 4. Dans l’approximation des petits mouvements, θ reste faible de sorte qu’on peut écrire : sin θ ≃θ, et l’équation précédente devient linéaire : mℓ2 3 ∂2θ ∂t2 = Cd2; ∂2θ ∂x2 −mgℓ 2 θ −f ∂θ ∂t L’approximation des petits mouvements correspond donc à une linéarisation. 5. L’équation précédente étant linéaire, on peut utiliser la notation complexe. En réinjectant l’expression complexe de θ, on obtient : mℓ2ω2 3 −Cd2k2 −mgℓ 2 −jfω ! θ = 0 Nous obtenons ainsi pour θ ̸= 0 la relation de dispersion suivante : k2 = mℓ2ω2 3Cd2 −mgℓ 2Cd2 −jfω Cd2 On vériﬁe ici que si ω est réel, k est nécessairement complexe. 6. Si ω est très important, les termes mgℓ 2Cd2 et jfω Cd2 sont négligeables devant celui en ω2, et on obtient la nouvelle relation de dispersion : k2 = mℓ2ω2 3Cd2 Dans ce cas : k′ = s mℓ2 3Cd2 ω et k′′ = 0 La vitesse de phase est donné par : vϕ = ω |k′| = s 3Cd2 mℓ2 La vitesse de phase est indépendante de ω, donc le milieu est non-dispersif. De plus, k′′ = 0, donc le milieu est non absorbant. Tristan Brunier Page 6/8 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Physique Physique des ondes -Corrigé du TD n˚3 Dispersion et absorption - Cas du câble coaxial 7. Dans ce second cas, la relation de dispersion devient : k2 = mℓ2ω2 3Cd2 −jfω Cd2 En utilisant un développement limité au premier ordre, on obtient : k = ± s mℓ2ω2 3Cd2 s 1 −3jf mℓ2ω ≃ω s mℓ2 3Cd2 1 − 3jf 2mℓ2ω ! et donc : k′ = ± s mℓ2 3Cd2 ω et k′′ = ∓f s 3 4mℓ2Cd2 La vitesse de phase est donné par : vϕ = ω |k′| = s 3Cd2 mℓ2 La vitesse de phase est indépendante de ω, donc le milieu reste non-dispersif. De plus, pour une onde se propageant dans le sens des x positifs, on doit avoir k′ > 0, donc k′′ < 0, donc le milieu est absorbant. L’amortissement se fait sur une distance caractéristique δ = 1 |k′′| = s 4mℓ2Cd2 3f 2 . On voit que l’amortissement est directement relié au couple de frottement, et que la distance caractéristique d’amortissement est d’autant plus faible que f est grand. 8. La relation de dispersion précédente devient, en posant f = 0 : k2c2 = ω2 −ω2 c en posant c = s 3Cd2 mℓ2 et ωc = s 3g 2ℓ • Si ω > ωc, k2 > 0 et le nombre d’onde est réel, avec k′ = ± p ω2 −ω2 c c et k′′ = 0. La vitesse de phase vaut : vϕ = ω |k′| = c v u u u u t 1 + 1 ω2 ω2 c −1 Celle-ci dépend de la pulsation donc le milieu est dispersif. En revanche, il est non absorbant car k′′ = 0, ce qui est cohérent puisqu’on a négligé les frottements. • Si ω < ωc, k2 < 0, et le nombre d’onde est imaginaire pur : k′ = 0 et k′′ = ± p ω2 c −ω2 c Aﬁn d’interpréter ce cas, revenons à l’expression réelle de θ(x, t). On obtient : θ(x, t) = A ek′′x cos(ωt) où le signe de k′′ peut être déterminé en fonction des conditions aux limites. La vitesse de phase est nulle, mais le milieu est absorbant. Les variables spatiales et temporelles sont découplées, de sorte qu’on a aﬀaire ici à une onde stationnaire, ce qui est cohérent avec le fait que la vitesse de phase soit nulle. Cependant, contrairement à ce que nous avons vu jusqu’à présent, il n’y a ni ventres ni nœuds. L’onde stationnaire décroissant exponentiellement avec une coordonnée de l’espace est en général appelée onde stationnaire évanescente. Tristan Brunier Page 7/8 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Physique Physique des ondes -Corrigé du TD n˚3 Dispersion et absorption - Cas du câble coaxial Exercice IV : Inﬂuence de la viscosité sur la propagation du son 1. Les deux équations précédentes s’écrivent en complexe : (µ0jω + k2η) v1 = jkP 1 et ωP 1 = kµ0 c2 v1 On en déduit directement la relation de dispersion suivante : k2 = ω2 c2 1 1 + jηω µ0c2 ! 2. ηω µ0c2 < 10−5 pour des sons audibles. Dans ce cas, on peut faire un développement limité au premier ordre de la relation de dispersion de sorte que : k2 = ω2 c2 1 −jηω µ0c2 ! donc : k′ = ω c et k′′ = −ηω2 2µ0c3 Le milieu est donc non-dispersif, mais est tout de même absorbant. On peut en déduire une distance caractéristique d’amortissement de l’onde sonore qui est donnée par : δ = 1 |k′′| = 650 m pour f = 20 kHz L’absorption est donc très faible sur une distance de quelques dizaines de mètres et ne permet pas d’expliquer l’observation. L’atténuation du son à 10 m est surtout dûe au fait que l’onde émise est sphérique, donc d’amplitude proportionnelle à 1 r. Tristan Brunier Page 8/8 Année 2010-2011 uploads/Sante/ corrige-td-dispersion.pdf