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Introduction au cours de physique (2) Analyse dimensionnelle, mesures et r´ esu

Introduction au cours de physique (2) Analyse dimensionnelle, mesures et r´ esultats « La physique mesure notre rapport au monde le plus normé, le mieux distingué. » Jean Clet Martin – Éloge de l’inconsommable (2006) I Grandeurs, unit´ es et dimensions I.1 Le syst` eme d’Unit´ es International (S.I.) ♦D´ eﬁnition : Mesurer une grandeur physique X revient ` a la comparer ` a une autre, de mˆ eme nature, X0, prise arbitrairement comme unit´ e, en eﬀectuant leur rapport : mX = X X0 Le r´ esultat de la mesure est un nombre, la valeur de X, accom- pagn´ e de son unit´ e car, en physique, il est impensable (et insens´ e !) de ne pas pr´ eciser la nature de l’unit´ e. On parlera d’unit´ e de base si elle est ind´ ependante de toutes les autres. Ceci exige qu’on la rattache ` a un ´ etalon, conventionnellement choisi, en g´ en´ eral pour sa simpli- cit´ e et l’universalit´ e de son mode de r´ ealisation. Toutes les autres unit´ es, dites d´ eriv´ ees, d´ ecoulent des unit´ es de base ` a partir de relations de d´ eﬁnition. Dans le Syst` eme International (SI), on compte actuellement sept unit´ es de base : 1) L’unit´ e de dur´ ee est la seconde (s) La seconde est la dur´ ee de 9 192 631 770 p´ eriodes de la radiation correspondant ` a la transition entre deux niveaux ´ energ´ etiques de l’atome de c´ esium 133. 2) L’unit´ e de longueur est le m` etre (m) Le m` etre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumi` ere pendant une dur´ ee de 1/299 792 458 seconde. Cette d´ eﬁnition r´ esulte d’une convention adopt´ ee en 1983 par la communaut´ e internationale qui consiste ` a ﬁxer la vitesse de la lumi` ere dans le vide c ` a exactement 299 792 485 m.s−1, la constante c ´ etant une constante fondamentale de la nature. 3) L’unit´ e de masse est le kilogramme (kg) Le kilogramme est la masse du prototype en platine iridi´ e qui a ´ et´ e sanctionn´ e par la Conf´ erence G´ en´ erale des Poids et Mesures (CPGM), tenue ` a Paris en 1889, et qui est d´ epos´ e au Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). Notons que l’´ etalon de masse est le seul ´ etalon mat´ eriel : il subit une contamination r´ eversible de surface d’environ 1 µg.an−1 n´ ecessitant un nettoyage-lavage p´ eriodique sp´ eciﬁque. aussi, le Comit´ e International a-t-il d´ eclar´ e que la masse de r´ ef´ erence est celle qui suit imm´ ediatement cette proc´ edure de nettoyage. ainsi d´ eﬁnie, la masse de r´ ef´ erence est utilis´ ee pour ´ etalonner ses copies conserv´ ees par diﬀ´ erents pays. Cette particularit´ e explique que cet ´ etalon soit encore sujet de recherche, car les physiciens veulent ` a terme le remplacer par un ´ etalon universel fond´ e sur les lois fondamentales. 4) L’unit´ e d’intensit´ e de courant est l’amp` ere (A) L’amp` ere est l’intensit´ e du courant ´ electrique constant qui, maintenu dans deux conducteurs parall` eles, rectilignes, de longueur inﬁnie, de section circulaire n´ egligeable et plac´ es ` a une distance de un m` etre l’un de l’autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force de 2.10−7 newton par m` etre de longueur. Le nom de cette unit´ e est celui du physicien fran¸ cais Andr´ e-marie Amp` ere qui travaill´ e sur les courants ´ electriques au XIXe si` ecle. 5) L’unit´ e de temp´ erature est le kelvin (K) Le kelvin est la fraction 1/273, 16 de la temp´ erature thermodynamique du point triple de l’eau. IP2 I. Grandeurs, unit´ es et dimensions 2008-2009 § Cours de Thermodynamique – En ce point, not´ e III, les trois phases de l’eau (solide, liquide, gaz) coexistent ; la temp´ erature et la pression valent respectivement TIII = 273, 16 K et PIII = 0, 613 kPa. Le nom de cette unit´ e a ´ et´ e choisi en hommage au physicien ´ ecossais William Thomson, devenu Lord Kelvin. 6) L’unit´ e d’intensit´ e lumineuse est la candela (cd) La candela est l’intensit´ e lumineuse, dans une direction donn´ ee, d’une source qui ´ emet un rayonnement monochromatique, de fr´ equence 540.1012 Hz et dont l’intensit´ e ´ energ´ etique dans cette direction est 1/683 watt par st´ eradian. Cette fr´ equence correspond ` a une longueur d’onde dans le vide de 555 nm, c’est-` a-dire ` a la couleur jaune-vert, pour laquelle l’œil humain est le plus sensible le jour. Indiquons que le st´ eradian est l’unit´ e de mesure d’un angle solide, notion qui g´ en´ eralise dans l’espace celle d’angle plan. 7) L’unit´ e de quantit´ e de mati` ere est la mole (mol) La mole est la quantit´ e de mati` ere d’un syst` eme contenant autant d’entit´ es ´ el´ ementaires qu’il y a d’atomes dans 0,012 kilogramme de carbone 12. I.2 Dimensions des grandeurs physiques ♦D´ eﬁnition : On appelle dimension physique la propri´ et´ e ou la grandeur physique associ´ ee ` a une unit´ e. • Par exemple, dans le cours de Maths Sup/Sp´ e, nous rencontrerons essentiellement 5 des 7 dimensions de base : - le « temps » (not´ e T) est la dimension/grandeur physique associ´ ee ` a l’unit´ e « seconde » - la « longueur » (not´ ee L) est la dimension/grandeur physique associ´ ee ` a l’unit´ e « mètre » - la « masse » (not´ ee M) est la dimension/grandeur physique associ´ ee ` a l’unit´ e « kilogramme » - l’« intensité » (not´ ee I) est la dimension/grandeur physique associ´ ee ` a l’unit´ e « ampère » - la « température » (not´ ee Θ) est la dimension/grandeur physique associ´ ee ` a l’unit´ e « kelvin » • Ainsi, on dira que la distance d parcourue dans l’espace par un point, ou que la longueur l = ∆x = x2 −x1 entre deux points M1 et M2 sur un axe Ox ½ sont homog` enes ` a une longueur ont la dimension d’une longueur ce qui se traduit symboliquement par : ½ [d] = L [l] = [∆x] = L • Certaines grandeurs ont leur unit´ e et leur dimension qui s’expriment directement ` a partir des unit´ es et grandeurs de base. Par exemple, la vitesse d’un point mat´ eriel (v = ˙ x pour une trajectoire rectiligne selon Ox) : - a pour dimension L.T −1 car : [v] = [ ˙ x] = ·dx dt ¸ = [dx] [dt] = L T = L.T −1 - son unit´ e est donc le m.s−1. • Les unit´ es d´ eriv´ ees peuvent ˆ etre, elles aussi, associ´ ees ` a des dimensions physiques. C’est le cas pour la « charge électrique » qui est la dimension correspondant ` a l’unit´ e d´ eriv´ ee qu’est le « Coulomb » (C). Mais l` a encore, ces unit´ es s’expriment en fonctions des unit´ es des grandeurs de base (cf. I.3). I.3 ´ Equation aux dimensions ♦D´ eﬁnition : On appelle ´ equation aux dimension une ´ equation reliant la dimen- sion d’une grandeur G ` a celles des grandeurs de base. [G] = T α.Lβ.Mγ.Iδ.Θϵ.Jζ.Nη Application : ´ Etablir la dimension : d’une force, d’une ´ energie, d’une puissance et d’une tension. 2 http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ qadripcsi@aol.com 2008-2009 I. Grandeurs, unit´ es et dimensions IP2 I.4 Analyse dimensionnelle ♦D´ eﬁnition : L’analyse dimensionnelle est une m´ ethode qualitative d’investiga- tion qui consiste ` a : - identiﬁer l’ensemble des param` etres pertinents d’un ph´ enom` ene physique - pour en d´ eduire la d´ ependance d’une grandeur en fonction de ces param` etres. Cette analyse ne permet ´ evidemment pas de d´ eterminer les facteurs num´ eriques qui s’obtiennent par l’exp´ erience ou une ´ etude quantitative. Application : Chercher Ex-2.1, 2.2. I.5 Les trois types d’erreurs ` a ne jamais commettre parce que c’est. . . mal ! Erreur physique ou erreur d’homog´ en´ eit´ e : il est absurde d’´ ecrire l’´ egalit´ e entre deux grandeurs de dimensions diﬀ´ erentes. Ex : Il est impossible d’´ ecrire qu’une distance d ([d] = L) est identique ` a un instant t ([t] = T), car leurs dimensions sont diﬀ´ erentes : L ̸= T. Par contre, l’´ equation horaire d = α.t + β ne sera correcte que si [d] = [α.t] = [β], i.e ` a la seule condition que α soit homog` ene ` a une longueur sur un temps ([α] = L.T −1) et que β soit homog` ene ` a une longueur ([b] = L). Erreur math´ ematique : il est absurde d’´ ecrire l’´ egalit´ e entre un nombre (un scalaire) et un vecteur. En particulier : - uploads/Sante/ physique-analyse-dimensionnelle.pdf