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Département de Physique Année Universitaire Faculté des Sciences 2021-2022 Univ

Département de Physique Année Universitaire Faculté des Sciences 2021-2022 Université Chouaïb Doukkali EL Jadida Cours de la Mécanique Quantique II SMP5 Mohammed EL Falaki Table des matières 1 Rappel : Postulat de la Mécanique Quantique, complément mathématique 3 1 Postulat de la Mécanique Quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Postulat1 : Description de l'état d'un système . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Postulat2 : Description des grandeurs physiques ou principe de corres- pondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Postulat3 : Résultat d'une mesure : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Postulat4 : Décomposition spectrale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Postulat5 : Réduction du paquet d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Postulat6 : Évolution temporelle des états : . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Contenu physique de l'équation de Schrödinger : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Conservation de la norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Evolution d'un système physique conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Evolution de la valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Application aux observables de position et d'impulsion ⃗ R et ⃗ P . . . . . . . . . . 8 4 Opérateur d'évolution U(t, t0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.1 Dé nition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2 Représentation de Schrödinger et représentation de Heisenberg . . . . . 10 5 Complément mathématique :Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.2 Base orthonormée de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.3 Produit scalaire dans E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.4 Opérateurs sur espace produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.5 Etats intriqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6 Polynôme de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6.1 Fonction génératrice des polynômes de Hermite . . . . . . . . . . . . . . 14 6.2 orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6.3 Relations de récurrences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 7 Polynôme de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Oscillateur Harmonique 17 1 Oscillateur harmonique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Oscillateur harmonique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1 L'approche algébrique de l'oscillateur harmonique quantique . . . . . . . 18 2.2 Spectre et vecteurs propres de l'opérateur N . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Spectre et états propre de l'hamiltonien H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1 Spectre de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Etats propres de l'hamiltonien H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 2 TABLE DES MATIÈRES 3.3 Action des opérateurs d'échelle sur les états propres de H . . . . . . . . . 24 4 Contenu physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Principe d'incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5 Oscillateurs harmoniques quantiques et fonctions d'ondes associées . . . . . . . . 29 3 Théorie général du moment cinétique en mécanique quantique 31 1 Moment cinétique orbital en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Moment cinétique orbital en physique Quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4 Moment cinétique général ⃗ J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.1 Dé nition du moment cinétique J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 Les opérateurs d'échelle J± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 vecteurs propres et valeurs propres de J2 etJz . . . . . . . . . . . . . . . 35 5 Représentation matricielle de l'opérateur ⃗ J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6 Application au moment cinétique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.1 Équations aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7 Le moment Cinétique du spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Sante/ cours-de-la-mecanique-quantique-ii.pdf