Analyse numériques des EDP MNSA S3 Pr. A. RADID Université Hassan II Faculté de
Analyse numériques des EDP MNSA S3 Pr. A. RADID Université Hassan II Faculté des Sciences Aïn Chock Département de Mathématiques et Informatique Année universitaire 2020-2021 Table des matières Introduction 1 1 Di¤érences …nies 4 1.1 Préliminaires et dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Résolution numérique des problèmes physiques . . . . . . . . 4 1.1.3 Dé…nition d’une EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Ordre de l’EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 EDP linéaire ou non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.6 Les di¤érents types d’équations aux dérivées partielles . . . . 8 1.1.7 Problème aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.8 Problème bien posé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.9 Les principales méthodes de discrétisation d’EDP . . . . . . 8 1.2 Les méthodes de di¤érences …nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Formules d’approximation de dérivées par di¤érences divisées en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Stencil d’un schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.5 Schéma à multipas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.6 L’ordre d’un schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.7 Discrétisation des conditions aux limites . . . . . . . . . . . 20 1.3 Consistance, Stabilité et Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1 Erreur de Troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.4 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Equation de Laplace 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5 Equation de la chaleur 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5.1 Schéma explicite de l’équation de la chaleur 1D . . . . . . . 33 1.5.2 Schéma implicite de l’équation de la chaleur . . . . . . . . . 41 2 1.6 Approximation par di¤érences …nies de l’équation de la chaleur en 2D 43 3 Chapitre 1 Di¤érences …nies 1.1 Préliminaires et dé…nitions 1.1.1 Introduction Les équations aux dérivées partielles (EDP) interviennent dans la description de très nombreux problèmes de physique, chimie, sciences de la Terre, biologie : mé- canique des ‡uides, propagation des ondes, électromagnétisme, phénomènes de di¤usion ... 1.1.2 Résolution numérique des problèmes physiques Grandes étapes : Problème physique continu est décrit par un modèle mathématique continue (mis en équations) Modèle mathématique continu est discretisé en s’appuyant sur une(des) méth- ode(s) numérique(s) Equations discretisées sont approximées à l’aide des schémas numériques appropriés, l’algorithme de résolution est établie Algorithme est codé ( Matlab, Gnuplot, FreeFem++...) Si tout va bien, la solution approchée du problème initial est obtenue. 4 1.1.3 Dé…nition d’une EDP Une équation aux dérivées partielles est une équation faisant intervenir une fonc- tion inconnue de plusieurs variables u (x1; : : : ; xd) ainsi que certaines de ses dérivées partielles. F(x; u; D uj jp) = 0: Dans les applications à la physique, on distingue les problèmes stationnaires où les variables sont des variables d’espaces : x 2 Rd ! u(x) 2 RN des prob- lèmes d’évolution où l’une des variables est le temps qui joue un rôle particulier x 2 Rd; t 0 ! u(x; t) 2 RN . Quelques exemples Équation de la chaleur – Equation de la chaleur monodimensionnelle : 8 > < > : @u(x;t) @t D @2u(x;t) @x2 = f(x; t); x 2]0; L[; t > 0 u(x; 0) = u0(x); x 2 ]0; L[ conditions initiales u(0; t) = u(L; t) = 0; t > 0 conditions aux limites D coe¢cient de di¤usion thermique – En dimension supérieure d : 8 > < > : @u(x;t) @t 4u(x; t) = f(x; t); x 2 ; t > 0 u(x; 0) = u0(x); x 2 u(x; t) = 0; x 2 @ ; t > 0 4u = P 1id @2u @x2 i ouvert borné de bord @ Equation des ondes – En dimension 1 8 > < > : @2u(x;t) @t2 c2 @2u(x;t) @x2 = f(x; t) x 2]0; L[; t > 0 u(x; 0) = u0(x); @tu (x; 0) = v0(x); x 2 ]0; L[ u(0; t) = u(L; t) = 0 t > 0 @2 t au lieu de @t pour l’équation de la chaleur et deux conditions initiales (position, vitesse) au lieu d’une. u(x; t) est un champ scalaire dépend de la position x et du temps t, comme la pression d’un gaz dans le cas du son. La constante c est la vitesse de propagation des ondes. 5 Pr. A. Radid CHAPITRE 1. DIFFÉRENCES FINIES – En dimension supérieure 8 > < > : @2u(x;t) @t2 4u(x; t) = f(x; t) x 2 ; t > 0 u(x; 0) = u0(x); @tu (x; 0) = v0(x); x 2 u(x; t) = 0 x 2 @ ; t > 0 propagation du son (acoustique) u pression acoustique ou potentiel des vitesses Equation de poisson – En une dimension (ku0)0 = f le réel k est un coe¢cient de di¤usion Si k = 1, l’équation de Poisson s’écrit u" = f En deux dimensions d’espace, elle s’écrit : 4u = f Dans le cas f = 0, on obtient l’équation de Laplace 4u = 0: – En trois dimension d’espace divkru = f le terme kru est un ‡ux de di¤usion Equation de transport – En une dimension ut + cux = 0; 8x 2 R; 8t > 0 u(x; 0) = u0(x) 8x 2 R où c > 0 la vitesse de transport L’équation de Schrödinger : i@u @t = 1 24u + V u qui décrit en mécanique quantique la fonction d’onde d’une particule massive dans un potentiel V . Elle représente aussi la propagation d’une onde harmonique à la limite parax- iale, dans un milieu de permittivité = n2 = V + 1: 6 1.1.4 Ordre de l’EDP Dé…nition 1.1 on appelle ordre d’une EDP l’ordre de la plus grande dérivée présente dans l’équation. Exemple 1.1 L’équation de la chaleur et l’équation des ondes sont d’ordre 2. L’équation de la poutre élastique est d’ordre 4: ( u0000(x) (a(x)u0(x))0 + c(x)u(x) = f(x) dans ]0; L[ u(0) = u0(0) = u(L) = u0(L) = 0 1.1.5 EDP linéaire ou non linéaire Dé…nition 1.2 On dit que l’EDP est linéaire si elle se met sous la forme Lu = f , où u ! Lu est une uploads/Sante/ df2020mnsa.pdf
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- Publié le Fev 02, 2022
- Catégorie Health / Santé
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