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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L’AÉRON

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D’ADMISSION SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l’épreuve : 3 heures ; l’usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE -EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique II – Filière MP L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 4 pages. • Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. • Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Électrostatique et rayonnement Présentation Ce problème concerne le problème classique de « l’énergie manquante », qui surgit lorsque l’on considère la décharge soudaine de deux condensateurs dans un circuit non inductif et de résis tance nulle. Attribuer de force une résistance aux fils (et donc changer le modèle) permet de retrouver cette énergie mais, sur le plan des phénomènes, ne résout pas grand-chose. On aborde dans ce problème une étude plus précise de la situation : les lois de Kirchoff sont mises en question et l’on fait intervenir le phénomène, usuellement (et légitimement) négligé du rayonnement. La première partie, qui se veut très simple, présente le phénomène de l’énergie manquante. La deuxième, proche du cours, décrit le rayonnement d’une spire. La troisième partie traite du rayonne- ment dans un circuit idéal à deux capacités. La quatrième partie traite numériquement un circuit réel simple. La cinquième partie est consacrée à une étude qualitative assez fine de la hiérarchie des diver- ses constantes de temps dans un circuit RLC série. Les parties I et II peuvent se traiter en toute indé- pendance. I. Circuit de deux condensateurs, régime quasi stationnaire q 1 – Le circuit ouvert de la figure 1 (page suivante), comprend deux condensateurs de capacités respectives C1 et C2 . Le premier condensateur porte une charge q 10 . Le second n’est pas chargé. Quelle est l’expression de l’énergie électrique Wi emmagasinée dans ce circuit ? q 2 – On ferme l’interrupteur. Quelle est la tension U f d’équilibre des condensateurs ? PHYSIQUE II MP 2003 q 3 – Quelle est l’énergie Wf emmagasinée mainte- nant dans le circuit ? Expri- mer Wf −Wi en fonction de C1, C2 et q 10 . q 4 – Une interprétation de cette perte d’énergie est que la résistance du circuit n’est pas nulle. C’est ce que montre la figure 2. La tension U f et l’énergie Wf sont-elles changées, du fait de l’introduction de la résistance R ? q 5 – Quelle est l’équation différentielle suivie par la charge q1 pendant la décharge du condensateur ? En déduire l’expression du courant i(t) circulant dans le circuit puis celle de l’énergie Q dissipée dans la résistance. Cette énergie dépend-elle de R ? q 6 – Quelle est la constante de temps du circuit ? L’approximation des régimes quasi-sta- tionnaires est-elle valide pour le premier montage ? II Rayonnement d’une boucle de courant Le milieu étant le vide, une spire de centre O, de rayon a, placée dans le plan (xOy) d’un repère gali- léen Rg (O, x, y, z), est parcourue par le courant i(t). Les coordonnées sphériques du point courant P sont (r, θ, ϕ) où r = OP, θ désigne la colatitude et ϕ la longitude. Un point M de la spire est repéré par sa longitude ϕM (Fig. 3) ; on note ′ u M ( ) le vecteur uni- taire tangent à la spire en ce point, et tMP = MP c , où c est la célérité du rayonnement dans le vide. L’élément de spire d s = ad ϕM ( ) ′ u M ( ) contribue au potentiel vecteur au point P par l’élément d A t,P ( )= µ0 4π i t−tMP ( ) MP ds Le courant passe d’une certaine valeur i0 à la valeur nulle en un temps caractéristique τ réa- lisant les inégalités a << cτ << r. q 7 – Montrer que, à chaque instant, on peut considérer le courant comme identique en tout point de la spire. q 8 – Montrer sans calculs que le potentiel vecteur A(t, P ) est porté par u ϕ . En déduire que sa composante A ϕ s’écrit : A ϕ = µ0 4π i t −tMP ( ) MP a cos ϕ −ϕ M ( ) 0 2π ⌠ ⌡  dϕM C1 C2 q10 Fig. 1 : deux condensateurs Fig. 2 : Fig. 1 + une résistance C1 C2 q10 i(t) R Fig. 3 : spire de rayon a ; (O x, v) = ϕ P M x y z O uϕ ur uθ u’ i(t) ϕ M v θ PHYSIQUE II MP 2003 q 9 – Vérifier que, au second ordre près en a r , et en posant u = t −r c , on a MP = r 1−a r sin θ ( )cos ϕ −ϕM ( )       , i t −tMP ( )= i u ( )+ a c d i u ( ) du sin θ ( )cos ϕ −ϕ M ( ) et Aϕ = µ 0 4rc a 2 di u ( ) du sin θ ( ). q 10 – En déduire la composante dominante du champ d’induction magnétique B en un point P situé à une distance r >> cτ de l’origine. En coordonnées sphériques, le rotationnel d’un vecteur V = Vrur + V θ uθ + V ϕuϕ s’exprime sous la forme du déterminant symbolique : rot V ( )= ∂ ∂θ rV ϕ sinθ ( )−∂rV θ ( ) ∂ϕ         ur r2 sinθ − ∂ ∂r rV ϕ sinθ ( ) −∂Vr ∂ϕ       uθ rsinθ + ∂ ∂r rVθ ( )−∂Vr ∂θ       uϕ r avec u θ ∧uϕ = u, uϕ ∧ur = uθ et ur ∧uθ = uϕ . q 11 – Déterminer le champ électrique E avec la même approximation. Comparer la struc- ture de l’onde au voisinage de P avec celle d’une onde plane. q 12 – En déduire l’expression du vecteur de Poynting. Montrer, en précisant la valeur de K, que la puissance moyenne rayonnée à travers la sphère de centre O passant par P est : P ray = K d2 i d t2       2 [1] Indication numérique : avec µ0 = 4π ×10−7 H.m−1 et c = 3×108 m.s−1 , on trouve la relation K = 2,47 × 10 −33σ 2 , où σ est la surface de la spire, en m2. q 13 – Un dipôle de Hertz de moment électrique p0 et oscillant à la pulsationω rayonne dans tout l’espace la puissance moyenne P = 1 3 µ0 4πc p0 2ω 4 . Que vous suggère la mise en perspective de cette expression avec la relation [1] ? III Rayonnement du circuit à deux condensateurs On rend compte du rayonnement dans le circuit de la figure 1 en introduisant une boîte noire X qui, parcourue par le courant i(t), dépense la puissance P ra y. On appelle VX la tension aux bornes de X. Le circuit équivalent lorsque l’interrupteur est fermé est représenté figure 4. q 14 – Montrer, en précisant la valeur de C, que VX satisfait l’équation différentielle (où la constante K est celle qui intervient dans la relation [1]) : C1 C2 Fig. 4 : Fig. 1 + boîte noire X VX i(t) PHYSIQUE II MP 2003 d3 V X d t3       2 + 1 KC d VX dt       VX = 0 [2] q 15 – Il se trouve que la solution « physique » de [2] est de la forme VX = Aexp st ( ) ! déterminer les valeurs possibles a priori de s. La solution de [2] peut-elle être une superposi- tion de fonctions correspondant à diverses valeurs de s ? q 16 –On choisira la solution donnée p ar la seule valeur réelle de s. Le signe de ce nombre admissible est-il physiquement admissible a priori ? q 17 – Déterminer d2 i d t2 et exprimer l’énergie rayonnée entre le temps t= r c et t= ∞. Le résultat obtenu ne devrait pas manquer de susciter un commentaire. IV Un circuit plus réaliste Le circuit de uploads/Sante/ electrostatique-et-rayonnement.pdf