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M´ ethodes math´ ematiques pour le Traitement du Signal 5 septembre 2009 M. Ber

M´ ethodes math´ ematiques pour le Traitement du Signal 5 septembre 2009 M. Bergounioux MASTER 2 Ce cours est issu d’un enseignement donn´ e depuis 5 ans au sein du MASTER de Math´ ematiques d’Orl´ eans et s’adresse ` a des math´ ematiciens d´ esireux de connaˆ ıtre les techniques de base de traitement du signal. A contrario, il peut aussi int´ eresser des sp´ ecialistes de traitement du signal qui souhaitent avoir un point de vue math´ ematique sur les outils qu’ils utilisent fr´ equemment. Cet ouvrage se veut donc une introduction ` a la discipline plus qu’un ouvrage pointu destin´ e ` a des sp´ ecialistes du domaine. Pour le lecteur qui souhaite en savoir davantage nous renvoyons ` a la bibliographie qui permet d’approfondir les diff´ erents sujets. Nous avons souhait´ e donn´ e de nombreuses applications tout au long de l’ouvrage et proposons comme tout livre de cours qui se respecte quelques exercices ou sujets de travaux pratiques. Le signal 1D le plus accessible par excellence ´ etant le signal sonore nous avons consacr´ e un court chapitre ` a l’analyse vocale (ou traitement de la parole), l` a aussi sous forme d’introduction. Pour le traitemnt du son musical nous renvoyons ` a l’ouvrage de P. Guillaume [8] qui fourmille d’exemples en liaison directe avec la musique. Chapitre 1 Introduction L’utilisation de math´ ematiques de haut niveau en traitement du signal et pour l’apprentissage est une tendance nouvelle rendue n´ ecessaire par la quantit´ e et la complexit´ e croissantes d’information aujourd’hui disponible, qui g´ en` erent un besoin d’automatisation des m´ ethodes d’analyse, de traitement de l’information et de la prise de d´ ecisions. Les applications les plus classiques concernent l’analyse et la transformation d’informations sonores et d’images, mais des probl` emes similaires sont pos´ es par d’autres signaux tels que des enregistrements de s´ equences d’ADN, des s´ eries ﬁ- nanci` eres ou des donn´ ees atmosph´ eriques. L’information ainsi trait´ ee peut ensuite servir ` a la r´ ealisation d’une tˆ ache qu’il s’agit d’optimiser. La notion de signal fait intervenir la notion d’observation de ph´ enom` ene. Elle fait intervenir des quantit´ es d´ ependantes du temps, de l’espace ou de la fr´ equence. Pour ´ etudier ces quantit´ es on a une mod´ elisation sous forme de fonction d’une variable. Les signaux sont des objets qui peuvent ˆ etre – unidimensionnels (1D) : c’est le cas de tous les ph´ enom` enes ondulatoires, dont l’exemple le plus connu est le son. La variable est alors le temps t. L’´ etude des signaux 1D fait l’objet du pr´ esent cours. – bidimensionnels (2D) : il s’agit dans ce cas d’images. La variable est une va- riable d’espace repr´ esentant les deux coordonn´ ees (x, y) d’un point du plan de l’image. L’´ etude de ces signaux, plus connue sous le nom de Traitement d’Image fait l’objet d’un autre volume [2]. – tridimensionnels (3D) : il peut s’agir, soit d’images 3D (dans l’espace) dont la reconstruction et la description se font par exemple ` a partir de projections st´ er´ eographiques ou tomographiques, soit d’une s´ equence d’images 2D dans le temps (vid´ eo). Dans le premier cas, La variable est une variable d’espace repr´ esentant les trois coordonn´ ees d’un point (x, y, z) de l’image. Dans le se- cond cas il s’agit des deux coordonn´ ees x, y dans le plan et du temps t. 3 4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION – quadridimensionnels (4D) : c’est le cas, par exemple, d’images 3D (volumes) ´ evoluant dans le temps. Dans cet ouvrage nous allons nous concentrer sur l’´ etudes des signaux 1D. Les m´ ethodes d´ ecrites rel` event de ce qu’il est commun´ ement appel´ e le traitement du signal . Nous donnons quelques exemples pour commmencer. 1. Le Son est le signal (1D) le plus connu. Les applications du traitement du son sont nombreuses. On peut citer, par exemple, la synth` ese et analyse vocale, la musique num´ erique (standard MP3- instruments num´ eriques) FIGURE 1.1 – Extrait d’un chant de baleine ` a bosse 2. Signaux ´ electriques : ces signaux sont particuli` erement int´ eressants en m´ ede- cine (´ electrocardiogramme- ´ electroenc´ ephalogramme). FIGURE 1.2 – Electrocardiogramme (ECG) ) 5 FIGURE 1.3 – Electro-enc´ ephalogramme (EEG) 3. Autres exemples FIGURE 1.4 – Onde sismique Applications : Astrophysique - d´ etection (radars- prospection pr´ etroli` ere) 6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION Un signal peut ˆ etre mod´ elis´ e de fac ¸on d´ eterministe ou al´ eatoire. Lorsque la fonction x t est continue le signal est analogique. Si la variable est discr` ete le signal est discret. Souvent un signal discret est le r´ esultat de la discr´ etisation d’un signal analogique. On parle alors d’´ echantillonnage. FIGURE 1.5 – Signal ´ echantillonn´ e Quand on discr´ etise un signal en vue d’un traitement num´ erique, on a fait une quantiﬁcation (stockage sur ordinateur). Un signal discret quantiﬁ´ e est un signal num´ erique. Exemples de signaux th´ eoriques – Echelon unit´ e de Heaviside : La fonction est donn´ ee par u t 1 si t 0 , 0 si t 0 . Ce signal mod´ elise l’´ etablissement instantan´ e d’un r´ egime constant. FIGURE 1.6 – Echelon unit´ e de Heaviside 7 – Signal rectangle ou cr´ eneau centr´ e : La fonction est donn´ ee par v t 1 si t a , 0 si t a . FIGURE 1.7 – Cr´ eneau centr´ e – Signal sinusoidal ou monochromatique : Le signal est repr´ esent´ e par la fonc- tion x t α cos ω t ϕ , o` u α R est l’amplitude du signal , ω R est la pulsation et ϕ 0, 2 π la phase initiale. On appelle a 2π ω la p´ eriode et λ 1 a ω 2π la fr´ equence. On peut donc ´ ecrire que x t α cos 2π λt ϕ . On ´ etudiera en g´ en´ eral le signal z t α exp 2iπ λt iϕ c exp 2iπ λt o` u c α exp iϕ C. On a donc c Re z t . Le traitement du signal repose essentiellement sur l’utilisation d’op´ erateurs lin´ eai- res qui modiﬁent les propri´ et´ es d’un signal de fac ¸on homog` ene dans le temps. Les transform´ ees de Fourier et de Laplace qui diagonalisent des op´ erateurs sont les prin- cipaux outils d’analyse math´ ematique. On ´ etudie un signal de deux points de vue : – le point de vue temporel (ou spatial s’il s’agit d’une image) : ´ etude du signal dans le temps, tel qu’il est enregistr´ e ou dans l’espace physique (pour une image par exemple) – le point de vue fr´ equentiel : on extrait du signal des informations cach´ ees mais qui sont caract´ eristiques de chaque signal. Les outils math´ ematiques sont essentiellement la transformation de Fourier et la transformation de Laplace (et leurs analogues discrets , la transformation de Fourier discr` ete et la trans- formation en z). Le traitement du signal (analogique ou num´ erique) consiste – ` a ´ etudier le signal, l’analyser, en extraire les informations pertinentes. 8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION – ` a modiﬁer le signal (pour enlever les parasites d’un son, accentuer les basses d’un morceau de musique ou ´ eclaircir une image ) – ` a synth´ etiser/reproduire des signaux nouveaux ( voix artiﬁcielles ) Sans pr´ etendre ` a l’exhaustivit´ e, nous allons pr´ esenter les principaux d’analyse et de traitement des signaux, au premier rang desquels les outils d’analyse spectrale qui font l’objet du chapitre 2. Le chapitre 3 pr´ esente des technqiues ´ el´ ementaires de traitement des siganux al´ eatoires. Le chapitre 4 pr´ esente des outils de ﬁltrage (ana- logique et num´ erique) : le ﬁltrage est une ´ etape fondamentale et incontournable dans tout traitement de signal. Le chapitre 5 est consacr´ e ` a l’´ echantillonnage, ` a savoir le passage d’un signal analogique ( continu ) ` a un signal num´ erique (discret). Nous y pr´ esentons le c´ el` ebre th´ eor` eme d’´ echantillonnage de Shannon ainsi que les difﬁ- cult´ es pos´ ees par le mauvais choix d’une fr´ equence d’´ echantillonnage (aliasing). Le chapitre 6 est consacr´ e ` a l’analyse temps-fr´ equence d’un signal, avec la transforma- tion de Gabor et la STFT 1 qui conduisent ` a la notion de spectrogramme. Tout natu- rellement, le chapitre 7 pr´ esente une alternative, compl´ ementaire ` a l’analyse temps- fr´ equence, qui est l’analyse temps-´ echelle avec l’introduction des ondelettes et de l’analyse multi-r´ esolution. Nous terminerons pas une application (chapitre 8) ` a l’ana- lyse vocale. 1. Short Time Fourier Transform ou Transform´ ee de Fourier ` a fenˆ etre glissante Chapitre 2 Analyse spectrale des signaux unidimensionnels 2.1 Signaux analogiques p´ eriodiques Un signal sinuso¨ ıdal pur t sin 2πλt a une signiﬁcation physique : uploads/Sante/ mathematique-pour-traitment-du-signal.pdf