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Universit´ e Pierre et Marie Curie (Paris 6) Maˆ ıtrise de Physique (Ann´ ee 20

Universit´ e Pierre et Marie Curie (Paris 6) Maˆ ıtrise de Physique (Ann´ ee 2003/2004) M´ ecanique Quantique Claude ASLANGUL 2 M´ ecanique Quantique 1 F´ evrier 2004 Cl. A. Table des Mati` eres 1 Rappels des fondements et du formalisme de la M´ ecanique Quantique 9 1.1 L’´ equation de Schr¨ odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Formalisme de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Op´ erateurs hermitiques, op´ erateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4 Postulats de la M´ ecanique Quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.1 Notion d’´ etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.2 Notion d’observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4.3 R´ esultats possibles de la mesure d’une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.4 La r´ eduction du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.4.5 Evolution des syst` emes dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.5 Evolution temporelle d’un syst` eme quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2 Sym´ etrie et lois de conservation 55 2.1 Le principe euclidien de Relativit´ e et le rˆ ole de la sym´ etrie en Physique . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2 Sym´ etrie spatiale continue : translations et rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2.2 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.3 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.4 Sym´ etries discr` etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 Sym´ etrie et d´ eg´ en´ erescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3 4 TABLE DES MATI` ERES 3 Th´ eorie du moment cin´ etique 81 3.1 Importance du moment cin´ etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2 Propri´ et´ es g´ en´ erales des valeurs et vecteurs propres d’un moment cin´ etique . . . . . . . . . . . . 83 3.3 Etats propres du moment cin´ etique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.4 Cas particuliers des moments cin´ etiques j = 1 2, j = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.5 Addition de deux moments cin´ etiques. Coeﬃcients de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.5.1 Comment apparaˆ ıt la somme des moments cin´ etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.5.2 Somme de deux moments cin´ etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.6 Th´ eor` eme de Wigner-Eckart. R` egles de s´ election . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4 Potentiel central et atome d’hydrog` ene 111 4.1 D´ eﬁnition du champ central et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1.1 Hamiltonien du probl` eme central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.1.2 Comportements de la fonction radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.1.3 La particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.1.4 Puits “carr´ e” sph´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.2 Atome d’hydrog` ene : ´ etats propres li´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2.1 R´ esolution de l’´ equation radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2.2 Sym´ etrie dynamique du potentiel Coulombien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5 Le spin 135 5.1 Insuﬃsances de la description par une seule fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.2 Lagrangien d’une particule dans un champ ´ electromagn´ etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.3 Magn´ etisme atomique : l’atome d’hydrog` ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Sante/ aslangul-pdf.pdf