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EXERCICE 2 (5 points ) (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialit

EXERCICE 2 (5 points ) (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher. U1 contient k boules blanches (k entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires. U2 contient 2 boules blanches et une boule noire. On tire une boule au hasard dans U1 et on la place dans U2. On tire ensuite, au hasard, une boule dans U2. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve. On note B1 (respectivement N1) l’événement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U1 ». On note B2 (respectivement N2) l’événement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U2 ». 1) a) Recopier et compléter par les probabilités manquantes l’arbre ci-dessous : B2 B1 N2 B2 N1 N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Montrer que la probabilité de l’événement B2 est égale à 3k + 6 4k + 12. Dans la suite on considère que k = 12. Les questions 2 et 3 sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être traitées dans n’importe quel ordre. 2. Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve. Si, à la ﬁn de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise. a) Montrer que les valeurs possibles de X sont 4 et −8. b) Déterminer la loi de probabilité de la variable X. c) Calculer l’espérance mathématique de X. d) Le jeu est-il favorable au joueur ? Page 3 / 7 3. Un joueur participe n fois de suite à ce jeu. Au début de chaque épreuve, l’urne U1 contient 12 boules blanches et 3 noires, et l’urne U2 contient 2 boules blanches et 1 noire. Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes. Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l’événement B2 soit supérieure ou égale à 0,99. Page 4 / 7 EXERCICE 2 1) a) L’urne U1 contient k + 3 boules et donc p(B1) = k k + 3 et p(N1) = 3 k + 3. Ensuite, • si l’événement B1 est réalisé, l’urne U2 contient 4 boules dont 3 blanches et une noire. Donc pB1(B2) = 3 4 et pB1(N2) = 1 4. • si l’événement N1 est réalisé, l’urne U2 contient 4 boules dont 2 blanches et 2 noires. Donc pN1(B2) = 1 2 et pN1(N2) = 1 2. On peut alors compléter l’arbre de l’énoncé : B1 N1 B2 N2 B2 N2 k/(k + 3) 3/(k + 3) 3/4 1/4 1/2 1/2 b) La formule des probabilités totales permet d’écrire p(B2) = p(B1 ∩B2) + p(N1 ∩B2) = p(B1) × pB1(B2) + p(N1) × pN1(B2) = k k + 3 × 3 4 + 3 k + 3 × 1 2 = 3k + 6 4(k + 3) = 3k + 6 4k + 12. p(B2) = 3k + 6 4k + 12. 2) Quand k = 12, p(B2) = 42 60 = 7 10 = 0, 7 et donc p(N2) = 1 −p(B2) = 0, 3. a) Si le joueur gagne, son gain algébrique est 12 −8 = 4 euros et s’il perd, son gain algébrique est 0 −8 = −8 euros. Donc les valeurs possibles de X sont 4 et −8. b) La loi de probabilité de X est xi 4 −8 p(X = xi) 0, 7 0, 3 c) E(X) = 0, 7 × 4 + 0, 3 × (−8) = 2, 8 −2, 4 = 0, 4. E(X) = 0, 4. d) Puisque E(X) > 0, le jeu est favorable au joueur. 3) Notons Y le nombre de fois que l’événement B2 est réalisé. La variable aléatoire Y est régie par un schéma de Bernoulli. En eﬀet, • n expériences identiques et indépendantes sont eﬀectuées ; • chaque expérience a deux issues : « l’événement B2 est réalisé » avec une probabilité p = 0, 7 ou « l’événement N2 est réalisé » avec une probabilité 1 −p = 0, 3. La variable aléatoire Y suit donc une loi binomiale de paramètres n et p = 0, 7. La probabilité de réaliser au moins une fois l’événement B2 est p(Y ≥1). Or p(Y ≥1) = 1 −p(Y = 0) = 1 −0, 3n. Soit alors n un entier naturel non nul. 1 −0, 3n ≥0, 99 ⇔1 −0, 99 ≥0, 3n ⇔0, 3n ≤0, 01 ⇔ln(0, 3n) ≤ln(0, 01) (car la fonction ln est croissante sur ]0, +∞[) ⇔n ln(0, 3) ≤ln(0, 01) ⇔n ≥ln(0, 01) ln(0, 3) (car ln(0, 3) < 0) ⇔n ≥3, 8 . . . ⇔n ≥4 (car n est un entier). Le plus petit entier cherché est 4. http ://www.maths-france.fr 4 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés. uploads/Sports/ bacs-juin2008-obligatoire-antillesguyane-exo2.pdf