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2015/2016 Semestre 03 Université de M’hamad Bougara de Boumerdès Faculté des Sc

2015/2016 Semestre 03 Université de M’hamad Bougara de Boumerdès Faculté des Sciences Département de Mathématiques Deuxième Année Master Responsable du Module: Recherche Opérationnelle Mr. M. BEZOUI Série de T ravaux Dirigés N ◦03 en Théorie des jeux Exercice 1. Dans cet exercice, on suppose que les fonctions de gains sont connues de tous les joueurs. 1. Deux joueurs cherchent à se partager un gâteau composé de 6 parts de même taille numérotées de 1 à 6. La procédure est la suivante: le joueur 1 choisit un entier x ∈{1, 2, 3, 4, 5} et partage les parts en deux lots, le lot L1 contenant les parts numérotées de 1 à x, et le lot L2 contenant les parts numérotées de x+1 à 6. Le joueur 2 observe le choix du joueur 1 et choisit y ∈{L1, L2} et remporte le lot correspondant, tandis que le joueur 1 remporte l’autre lot. Exemple: si le joueur 1 choisit x = 4 alors L1 est formé des parts: {1,2,3,4}, le lot L2 sera formé de {5, 6},Le joueur 2 a le choix entre L1 et L2, s’il choisit le lot L1, alors le joueur 1 aura le lot L2. (a) Écrire le jeu sous forme extensive (Arbre de décision). (b) Déterminer tous les équilibres sous-jeux parfaits en stratégies pures. (c) Combien chaque joueur a t-il de stratégies dans la forme normale (stratégique) associée. 2. Dans cette partie on suppose toujours que le Joueur 2 observe l’action choisie par le Joueur 1 avant de choisir son action, mais il y a désormais une cerise sur la part numéro 1. Le joueur 2 est friand de cerise: son gain est égal à la proportion de gâteau obtenue plus un bonus de 1 2 s’il obtient la cerise. Le joueur 1 n’aime pas la cerise et la jette s’il l’obtient. Son paiement est juste la proportion de gâteau obtenue. (a) Écrire le jeu sous forme extensive. (b) Déterminer tous les équilibres en sous-jeux parfaits. Exercice 2. On considère le jeu sous forme extensive représenté sous sa forme extensive sur la ﬁgure 1: Dans cet exercice on ne considère que des stratégies pures. Figure 1: Le jeu sous forme extensive 1. Déterminez l’ensemble des équilibres de Nash parfaits en sous-jeux de ce jeu. 2. Mettez ce jeu sous forme normale. 3. Déterminez l’ensemble des équilibres de Nash de ce jeu. 4. Expliquez pourquoi certains équilibres de Nash ne sont pas parfaits en sous-jeux (expliquez précisé- ment pour chacun de ces équilibres de Nash). Exercice 3. Deux étudiants (A et B) doivent "coopérer" aﬁn d’obtenir une bonne note. Chacun possède deux options : "travailler" (T) ou se "reposer" (R). Le travail est coûteux mais il l’est plus pour B que pour A. Le travail est récompensé mais il existe une externalité : si l’un travaille et l’autre se repose, ce dernier bénéﬁcie du travail du premier (par exemple : rédaction d’un mémoire commun, possibilité de copier, ...). Toutefois, des deux étudiants, B apprécie plus une bonne note que A (par exemple : A a déjà eu des bonnes notes, alors que B a eu de mauvaises notes). Si les deux travaillent la note est meilleure : A obtient une utilité de 6 et B une utilité de 8. Si A est le seul à travailler, la note est intermédiaire et les utilités sont : 4 pour A et 12 pour B (note moyenne mais il bénéﬁcie de loisirs). Si B est le seul à travailler, la note est à nouveau moyenne et les utilités sont : 7 pour A (qui se repose) et 6 pour B. Enﬁn, si personne ne travaille, ils obtiennent tous les deux une utilité nulle. 1. Construire l’arbre du jeu lorsque A prend le premier la décision (irréversible) de travailler ou de se reposer, tandis que B observe le choix de A avant d’adopter une stratégie. Le résoudre à l’aide de la récurrence arrière. Représenter ce jeu sous forme normale et déterminer les équilibres de Nash en stratégies pures. 2. Construire l’arbre du jeu lorsque B prend le premier la décision (irréversible) de travailler ou de se reposer, tandis que A observe le choix de B avant d’adopter une politique. Le résoudre à l’aide de la récurrence arrière. Représenter ce jeu sous forme normale et déterminer les équilibres de Nash en stratégies pures. 3. Construire l’arbre du jeu lorsque A et B prennent simultanément la décision (irréversible) de travailler ou de se reposer. Représenter ce jeu sous forme normale et en déterminer les équilibres de Nash en stratégies pures. Exercice 4. Un animateur donne 100$ a deux joueurs qui doivent s’entendre sur son partage. La règle est la suivante : le joueur 1 fait une proposition du type n pour lui et 100 −n pour l’autre avec 1 ≤n ≤99, puis le joueur 2 observe la proposition et l’accepte ou la refuse. S’il accepte, le partage a lieu comme entendu. S’il refuse personne ne gagne rien. 1. Représenter le jeu sous forme extensive. 2. Représenter le jeu sous forme normale. 3. Montrer que toute proposition du joueur 1 peut faire partie d’un équilibre de Nash de ce jeu. De- terminer ensuite les équilibres de Nash sous-jeux parfaits. Exercice 5. On considère le jeu sous forme extensive à deux joueurs suivant (les utilités sont données sous la forme (joueur 1, joueur 2)) Voire la ﬁgure 2: 1. Combien ce jeu a-t-il de sous-jeux? Combien le joueur 1 a-t-il de stratégies pures? Et le joueur 2? Combien y a-t-il de proﬁls de stratégies pures? 2. Mettez ce jeu sous forme normale. Déterminez l’ensemble des équilibres de Nash en stratégies pures. 3. Déterminez l’ensemble des équilibres de Nash parfaits en sous-jeux. 4. Comparez les résultats des deux questions précédentes. Commentez. On considère maintenant le jeu sous forme extensive à deux joueurs suivant Voire la ﬁgure 3: 5. Combien ce jeu a-t-il de sous-jeux? Combien le joueur 1 a-t-il de stratégies pures? Et le joueur 2? Combien y a-t-il de proﬁls de stratégies pures? Figure 2: Premier Jeu Figure 3: La deuxième ﬁgure 6. Déterminez l’ensemble des équilibres de Nash parfaits en sous-jeux. Travaillez bien! Mr. BeZoui uploads/Sports/ td3tj1415.pdf