Logique : vrai/faux ; condition nécessaire, suffisante ou nécessaire et suffisante

Logique : vrai/faux ; condition nécessaire, suffisante ou nécessaire et suffisante ; et/ou ; connecteurs logiques (implication, équivalence) Denis Vekemans ∗ 1 Le vrai ou faux Vrai ou faux : une assertion mathématique est soit vraie, soit fausse. Dans le doute, elle est considérée comme fausse. Soit une assertion du type : 1. U = "quelque soit a, on a l’assertion A" (a) Pour justifier que U est vraie, on utilise la variable a pour démontrer A. (b) Pour justifier que U est fausse, il suffit de trouver un a (nommé un contre-exemple) tel que A soit fausse. 2. V = "on peut trouver a tel que j’ai l’assertion A" (a) Pour justifier que V est fausse, on utilise la variable a pour démontrer que A est fausse. (b) Pour justifier que V est vraie, il suffit de trouver un a (nommé un exemple) tel que A soit vraie. 2 Les opérateurs logiques Le ET logique : A est vraie A est fausse B est vraie A ET B est vraie A ET B est fausse B est fausse A ET B est fausse A ET B est fausse Le OU logique : ∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France 1 A est vraie A est fausse B est vraie A OU B est vraie A OU B est vraie B est fausse A OU B est vraie A OU B est fausse L’implication : A implique B. On la note A ⇒B. L’implication A ⇒B est vraie lorsque si A est vraie, alors B l’est aussi. Si l’implication A ⇒B est vraie, il est possible que l’implication : B ⇒A, soit fausse. On dit alors que A implique B, mais que la réciproque est fausse. Si l’implication A ⇒B est vraie, il est possible que l’implication : B ⇒A, soit également vraie. On dit alors que A et B sont équivalentes et on note A ⇐ ⇒B. L’assertion contraire : lorsque A est vraie est équivalente à B est fausse, on dit que A et B sont des assertions contraires et on note B = A. A est vraie et son contraire A est fausse, sont deux assertions équivalentes. La contrapposée : l’implication A ⇒B est vraie et l’implication B ⇒A est vraie sont deux implications équivalentes. 3 Plusieurs types de démonstrations usuels La démonstration par contrapposée : pour montrer A ⇒B, on va montrer B ⇒A. La démonstration par l’absurde : pour montrer A ⇒B, on va supposer que A est vraie et que B est fausse pour aboutir à une contradiction. La démonstration par exhaustion : pour montrer A ⇒B, on va décrire l’ensemble de tous les cas qui permettent de réaliser A : A1, A2, . . . et Ap, et montrer que A1 ⇒B, A2 ⇒B, . . . et Ap ⇒B. 4 "Il faut" et "Il suffit" Lorsque A ⇒B, on dit qu’il suffit que A soit vraie pour que B le soit aussi, mais on dit également que lorsque A est vraie, il faut que B le soit aussi. Dans A ⇒B, le "il suffit" porte sue A et le "il faut" porte sur B. Lors d’une question du type : 1. "Trouver une condition suffisante pour que A soit vraie", il s’agit de trouver une condition B telle que B ⇒A ; 2. "Trouver une condition nécessaire pour que A soit vraie", il s’agit de trouver une condition B telle que A ⇒B ; 3. "Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que A soit vraie", il s’agit de trouver une condition B telle que A ⇐ ⇒B. 2 Exercice 1 1. Donner un exemple choisi dans le domaine numérique d’assertion A vraie. Donner l’assertion contraire. 2. Même question dans le domaine géométrique. 3. Donner un exemple choisi dans le domaine numérique d’implication A ⇒B vraie, telle que l’impli- cation B ⇒A soit fausse. Vérifier alors que l’implication B ⇒A est vraie. 4. Même question dans le domaine géométrique. 5. Donner un exemple choisi dans le domaine numérique d’équivalence A ⇔B. 6. Même question dans le domaine géométrique. 7. Donner un exemple choisi dans le domaine numérique ou géométrique de démonstration par l’ab- surde. Solution 1 1. L’assertion "A : 2 ≥0" est vraie. L’assertion contraire "A : 2 < 0" est fausse. 2. Dans un carré, l’assertion "A : les diagonales sont perpendiculaires" est vraie, mais l’assertion contraire "A : les diagonales ne sont pas perpendiculaires" est fausse. 3. Pour x ∈R, "x = 1 = ⇒x2 = 1" est une implication vraie, mais l’implication réciproque "x2 = 1 = ⇒x = 1" est fausse (contre-exemple : x = −1). Cependant, la contrapposée "x2 ̸= 1 = ⇒x ̸= 1" est vraie. 4. "ABCD est un carré = ⇒(AC) ⊥(BD)" est une implication vraie, mais l’implication réciproque "(AC) ⊥(BD) = ⇒ABCD est un carré" est fausse (contre-exemple : ABCD un losange non carré). Cependant, la contrapposée "(AC)⊥(BD) = ⇒ABCD n’est pas un carré" est vraie. 5. "x = 1 ⇐ ⇒2 × x + 3 = 5". 6. "ABCD est un parallélogramme ⇐ ⇒[AC] et [BD] ont même milieu". 7. "Si x + y = 1 et x × y est maximum, alors x = y". Par l’absurde, si x ̸= y, on définit x′ = y′ = x+y 2 . On a x′ × y′ =  x+y 2 2 > x × y car  x−y 2 2 > 0. Ainsi, x′ + y′ = 1 et x′ × y′ > x × y, ce qui contredit le fait que x × y puisse être maximal. Exercice 2 [Grenoble, Lyon (2001)] Alice, perdue dans la Forêt de l’oubli, ne se souvenait jamais du jour de la semaine. Heureusement, un Lion et une Licorne visitaient souvent cette forêt étrange et pouvaient parfois la tirer de cette embarrassante ignorance. Alice savait que lundi, mardi et mercredi, le Lion ne disait jamais une phrase vraie et ne mentait pas pendant le reste de la semaine. La Licorne ne faisait que mentir jeudi, vendredi et samedi et disait la vérité pendant les autres jours. 3 1. Alice surprit un jour la conversation suivante entre le Lion et la Licorne — Lion : Hier, je mentais. — Licorne : Moi aussi. Alice avait un raisonnement logique infaillible. Elle a pu en déduire le jour de la semaine. Indiquez ce jour et le raisonnement utilisé. 2. Une autre fois, Alice rencontra seulement le Lion qui prononça les deux phrases suivantes — Je mentais hier. — Je mentirai de nouveau dans trois jours. Quel jour cette rencontre a-t-elle eu lieu ? Justifier la réponse. 3. Déterminer quels jours la phrase suivante a pu sortir de la gueule du Lion — Hier, je mentais et je mentirai de nouveau demain. Justifier la réponse. D’après Raymond Smullyan, What is the name of this book ?, Penguin books. Solution 2 Un petit tableau pour résumer les données ... Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche Le Lion M M M V V V V La Licorne V V V M M M V M : ment ; V : dit la vérité. 1. (a) Premier cas : le Lion dit la vérité. Dans ce cas, on est jeudi car il doit être vrai que le Lion mente la veille. La licorne ment donc (voir tableau). Il faudrait donc que le mercredi soit un jour où elle dit la vérité, ce qui est vrai. (b) Second cas : le Lion ment. Dans ce cas, on est lundi car il doit être faux que le Lion mente la veille. La licorne dit donc la vérité (voir tableau). Il faudrait donc que le dimanche soit un jour où elle ment, ce qui est faux. Synthèse. Parmi les deux cas, seul le premier fournit une solution et cette solution est jeudi. 2. (a) Premier cas : le Lion dit la vérité. Dans ce cas, on est jeudi car il doit être vrai que le Lion mente la veille. Il faudrait aussi que le dimanche soit un jour où il ment, ce qui est faux. (b) Second cas : le Lion ment. Dans ce cas, on est lundi car il doit être faux que le Lion mente la veille. Il faudrait aussi que le jeudi soit un jour où il dit la vérité, ce qui est vrai. Synthèse. Parmi les deux cas, seul le second fournit une solution et cette solution est lundi. 3. (a) Premier cas : le Lion dit la vérité. Dans ce cas, on est jeudi car il doit être vrai que le Lion mente la veille. Il faudrait aussi que le vendredi soit un jour où il ment, ce qui est faux. 4 (b) Second cas : le Lion ment. Dans ce cas, soit il disait la vérité la veille, soit il disait la vérité le lendemain (car la négation de "A ET B" est "A OU B"). Ainsi, on est soit lundi, soit mercredi. uploads/Sports/ wwwpe-logique.pdf

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• Publié le Aoû 30, 2022
• Catégorie Sports
• Langue French
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