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ANALYSE COMBINATOIRE EXERCICE 1 Dans chaque cas une des réponses au moins est e

ANALYSE COMBINATOIRE EXERCICE 1 Dans chaque cas une des réponses au moins est exacte. 1. Le nombre 0 ! : a) est égal à 0 b) est égal à 1 c) n'a pas été défini 2. Le nombre de listes à k éléments distincts ou non, dans un ensemble à p éléments : a) est égal à kp b) est égal à pk c) est égal à k p A 3. n et p sont deux nombres entiers naturels non nuls et p est inférieur ou égal à n. a) On a toujours k p p A n  b) On a toujours p p n n C A  c) Il n'y a pas de relation générale entre k p p A et n . 4. L'expression   n! 2! n 2 !  a) est la valeur de 2 n C . b) est la valeur de n 2 n C  . c) est la valeur de n 2 n A . 5. On place 5 croix et 5 ronds dans une liste de 10 caractères. De combien de manières différentes peut on placer ces éléments : a) 210 . b) 5 10 A . c) 5 10 C . 6. Le nombre 4! représente : a) le nombre de classements possibles dans un ensemble à 4 éléments. b) le nombre des permutations possibles dans un ensemble à 4 éléments. c) le nombre des arrangements des 4 éléments dans un ensemble de cardinal égal à 4. EXERCICE 2 On a représenté sur le diagramme ci-dessous un ensemble E et deux de ses sous-ensembles A et B (chaque élément de E est représenté par une croix). 1. Calculer : card(A), card(B), card(A B), card(A B), card(E). 2. Quelle égalité lie les quatre premiers nombres ? EXERCICE 3 Une urne contient 5 boules rouges, 4 noires, 3 vertes. On tire trois boules dans cette urne, successivement, en remettant chaque boule tirée dans l'urne avant de prendre les suivantes. 1. Quel est le nombre de tirages possibles ? 2. Calculer la probabilité : a) d'obtenir trois boules rouges ; b)d'obtenir deux boules rouges exactement ; c) d'obtenir au moins une boule rouge ; d)d'obtenir deux boules vertes et une noire ; e) d'obtenir trois boules de la même couleur ; f)d'obtenir trois boules de trois couleurs différentes. EXERCICE 4 Trois options sont offertes aux élèves d'une classe : espagnol, latin, musique. Chaque élève choisit une ou deux options. Le schéma ci-dessous indique le nombre d'élèves pour chaque combinaison d'options possible. On choisit un élève au hasard dans cette classe. Déterminer la probabilité des événements suivants : 1. l'élève étudie l'espagnol, 2. l'élève étudie uniquement l'espagnol, 3. l'élève étudie l'espagnol et le latin, 4. l'élève étudie l'espagnol ou le latin, 5. l'élève étudie uniquement une des deux langues : espagnol ou latin (il peut éventuellement faire aussi de la musique), 6. l'élève étudie une seule des trois options. EXERCICE 5 Une urne contient cinq boules blanches et trois boules rouges indiscernables au toucher. 1.On tire successivement sans remise trois boules dans l'urne. a)Combien y a – t – il de tirages possibles ? b)Quelle est la probabilité d'obtenir trois boules rouges ? c)Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ? 2.Reprendre la première question, en supposant que les trois boules sont tirées simultanément. Comparer les résultats obtenus dans les deux questions. EXERCICE 6 On rappelle qu'une anagramme d'un mot est un mot qui contient les mêmes lettres (éventuellement répétées le même nombre de fois). Par exemple REVISE et SERVIE sont des anagrammes de EVIERS, on considère que ESEIVR en est une autre, bien que ce mot n'ait aucun sens. 1. Combien CHERS a-t-il d'anagrammes ? 2. Combien CHERE a-t-il d'anagrammes ? 3. Combien CHERCHER a-t-il d'anagrammes ? 4. Combien RECHERCHER a-t-il d'anagrammes ? EXERCICE 7 Une agence de voyages propose un circuit touristique comprenant quatre des douze capitales de la Communauté économique européenne (CEE). Pour définir un circuit, on suppose que chaque capitale n'est visitée qu'une fois et on tient compte de l'ordre de visite de ces capitales ; par exemple, le circuit : " Paris, Madrid, Rome, Athènes " diffère du circuit : " Athènes, Rome, Paris, Madrid ". 1. Combien y a-t-il de circuits différents ? Dans la suite, on suppose que chaque capitale a la même probabilité d'être choisie. 2. Calculer la probabilité de l'événement suivant : le circuit commence à Paris. (Le résultat de cette question sera donné sous forme de fraction irréductible). 3. Si le circuit commence à Paris, quelle est la probabilité pour que Madrid et Rome fassent partie du circuit ? (Ce résultat sera donné sous forme de fraction irréductible). PROBABILITE EXERCICE 1 I. Une urne contient neuf boules : deux boules portant le numéro 1, quatre boules portant le numéro 2 et trois boules portant le numéro 3. On prend au hasard une boule dans l'urne (on suppose que tous les tirages sont équiprobables). On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro de la boule tirée. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique E(X). II. Les boules sont maintenant réparties dans une urne A et une urne B : l'urne A contient deux boules portant le numéro 1 et deux boules portant le numéro 2, l'urne B contient deux boules portant le numéro 2 et trois boules portant le numéro 3. On considère l'épreuve aléatoire suivante : on prend au hasard une boule dans l'urne A (chacune des quatre boules a la même probabilité d'être tirée), on place cette boule dans l'urne B, on prend au hasard une boule dans l'urne B (chacune des six boules a la même probabilité d'être tirée), on place cette boule dans l'urne A. Soit les événements suivants : A1 : « la boule prise dans l'urne A porte le numéro 1 » A2 : « la boule prise dans l'urne A porte le numéro 2 » B1 : « la boule prise dans l'urne B porte le numéro 1 » B2 : « la boule prise dans l'urne B porte le numéro 2 » 1. Déterminer : a) la probabilité de A1 ; b) la probabilité de B1, sachant que A1 est réalisé ; c) Montrer que la probabilité de 1 1 A B I est 1 12 . 2. Montrer que la probabilité de 2 2 A B I est 1 4 . 3. Calculer la probabilité que, à l'issue de l'épreuve, l'urne A se retrouve dans son état initial, c.-à-d. qu'elle contienne à nouveau deux boules portant le numéro 1 et deux boules portant le numéro 2. EXERCICE 2 Les résultats aux questions données seront donnés sous forme fractionnaire, puis en écriture décimale. Un concours est organisé par un journal. Par jeu, un lecteur décide de répondre totalement au hasard aux questions proposées. 1. Première question du journal Une liste de 10 romans, écrits à des époques différentes, est donnée. On demande de classer par ordre chronologique les 4 plus anciens. a) Combien y a-t-il de réponses possibles ? b) Quelle est la probabilité pour que notre lecteur donne le bon classement ? 2. Deuxième question du journal On donne 6 titres de livres. Chaque titre correspond à un genre et un seul parmi les suivants : poésie, roman historique, science fiction. Le lecteur doit associer à chaque titre le genre auquel il appartient. a) Combien y a-t-il de réponses possibles ? b) Quelle est la probabilité pour que notre lecteur donne une réponse correcte ? 3. Troisième question du journal Il est fourni une liste nominative de 8 auteurs et les portraits de 3 d'entre eux. Le lecteur doit cocher 4 noms de la liste donnée. La réponse est correcte si les 3 auteurs représentés sont parmi les 4 noms retenus. a) Combien y a-t-il de réponses possibles ? b) Calculer le nombre de réponses correctes possibles. Pour cela on pourra identifier les auteurs par une lettre A, B, ..., H et supposer que A, B, C sont les auteurs dont les portraits sont donnés ; au moyen de ces lettres identifier toutes les réponses exactes. c) Quelle est la probabilité pour que notre lecteur donne la réponse correcte ? EXERCICE 3 A la fête de son club sportif, Jean tient un stand dans lequel il propose le jeu suivant. Le joueur tire une carte d'un jeu comportant 32 cartes dont 12 figures (4 rois, 4 dames, 4 valets). S'il obtient une figure, il tire un billet dans la corbeille « Super Chance » qui contient 50 billets dont 20 gagnent un lot. S'il n'obtient pas de figure, il tire un billet dans la corbeille « Petite Chance » qui contient 50 billets dont 10 gagnent un lot. Le but de l'exercice est de déterminer la probabilité, pour le joueur, de gagner un lot. 1. On suppose que tous les tirages d'une carte du jeu de 32 cartes sont équiprobables. Montrer que la probabilité de l'événement A « le joueur obtient une uploads/Voyage/ 11-lnexp.pdf