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1/7 Exercice1 Soient les variables aléatoires X1, X2,...,Xn indépendantes et di

1/7 Exercice1 Soient les variables aléatoires X1, X2,...,Xn indépendantes et distribuées selon une même loi de Bernoulli de paramètre 20 1 . 1) Donner l'expression de la fonction de probabilité de Xi n ,..., 1 i  .          on sin , six ) ( ) x X ( P x x i 0 1 0 20 19 20 1 1 i=1,....,n 2) Soit la variable aléatoire    n 1 i i X Z . Déterminer l'espérance mathématique et la variance de Z. n n i i X ...... X X X Z       2 1 1 20 1 1 1 1 1 20 1 20 1 20 1 20 1 2 1 1 n ) ...... ( / / .......... / / ) X ( E ...... ) X ( E ) X ( E ) X ( E ) Z ( E n n i i                 400 19 20 19 20 1 n ) ( n ) Z ( V   3) Pour n=5, Déterminer ) 2 Z ( P  , ) 5 Z ( P  et ) 3 Z ( P  Z suit la loi binomiale P(X = k) = k n C pk(1 - p)n - k Année Universitaire : 2020-2021 Probabilités et statistiques ING_GC1 série 3 THÈME : Lois de probabilités usuelles 2/7 0214 0 20 19 20 1 2 2 5 2 2 5 . ) / ( ) / ( C ) Z ( P     )! x n ( ! x ! n C x n   999 0 4 3 2 1 0 5 . ) ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) ( P ) Z ( P        999 0 20 19 20 1 1 5 1 5 1 5 5 5 5 5 5 . ) / ( ) / ( C ) ( p ) Z ( P ) Z ( P           Exercice2 Un usager du train de banlieue fait régulièrement 100 voyages par mois, on admettra qu’à chaque voyage il y a une probabilité de 0,2 qu'il soit contrôlé pendant un mois. 1) Quelle est la loi de probabilité de X (le nombre de fois où le voyageur est contrôlé pendant un mois) X: 0, 1,.................100 X--------B(100, 0.2) 2) Calculer les caractéristiques de cette loi. E(X)=np et V(X) =n.p(1-p) Exercice 3 1) Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 4 et 0 ,2. a) Quelles sont les valeurs prises par X et les probabilités ? b) Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de X. 2) Soit Y une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 20 et 0,6. Calculer : ) Y ( P 10  et ) Y ( P 12  3/7 Exercice 4 Dans une station de métro, le nombre moyen de voyageurs qui arrivent pendant 5 minutes est égal à 4, sachant que le nombre d’arrivé suit une loi de poisson. Déterminer les probabilités suivantes : 1) la probabilité d’avoir plus de deux voyageurs pendant 5 minutes. P(X>2)=1 ) X ( P 2   = 1-(p(0)+p(1)+p(2)) 2) La probabilité de recevoir au moins un voyageur. ) ( p ) x ( p ) X ( P 0 1 1 1 1       3) La probabilité de recevoir au plus 4 voyageurs pendant 10 minutes. X________P(4) pendant 5 minutes X________p(2*4=8) pendant 2*5=10minutes ) ( P ..... ) ( p ) X ( P 4 0 4    4) Calculer les caractéristiques de cette loi. E(X) =4 V(X)=4 Exercice 5 Dans une population de 600 individus, la population qu’une personne soit atteinte d’une maladie « M » est égale à 0,01. Soit X la variable qui désigne le nombre de personnes atteintes par cette maladie. Sachant que X suit une loi binomiale. 1) Calculer les probabilités suivantes : a) La probabilité qu’au moins trois personnes soient atteintes par cette maladie. b) La probabilité qu’au plus une personne soit atteinte par cette maladie. c) La probabilité qu’aucune personne ne soit atteinte par cette maladie. 2) Donner les caractéristiques de cette loi. Exercice 6 On admet que la probabilité qu'un voyageur oublie ses bagages dans le train est 0,005. Un train transporte 850 voyageurs. On admettra que ces voyageurs se sont regroupés au hasard et que leurs comportement, par rapport à leurs bagages, sont indépendants 4/7 les uns des autres. On désigne par X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de voyageurs ayant oublié leurs bagages dans le train. 1) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Calculer son espérance mathématique et sa variance. 2) Donner, en justifiant la réponse, une loi de probabilité permettant d'approcher la loi trouvée à la question précédente. En utilisant cette loi approchée, calculer une valeur approchée de la probabilité des événements suivants : a) Aucun voyageur n'a oublié ses bagages. b) Cinq voyageurs au moins ont oublié leurs bagages. Exercice 7 Pour un groupe d’enfants (âgés de 12 à 16 ans) la durée moyenne de regarder la télévision par jour suit une loi normale de moyenne m=100 minutes et d’écart type 50   minutes. X~> N(100, 502) 1) Calculer la probabilité des enfants qui regardent la télévision plus de 140 minutes par jour P(X>140)= 1-P(X<140) = 1- (Z<(140-100)/50)= 1-(Z<0.8)=1-F(0.8) 2) Quelle est la probabilité des enfants qui regardent la télévision entre 70 et 130 minutes par jour. P(70-100/50 <Z<130-100/50)= P(-0.6<Z<0.6) =F(0.6)-F(-0.6) = F(0.6) - [1- F(0.6)] = F(0.6)-1+F(0.6) = 2.F(0.6) -1= 2*(0.7257)-1=0.4514>0 Exercice 8 Un étudiant passe un examen est ajourné si sa note est inférieure à 8, passe un oral si sa note est entre 8 et 12, est admis sans oral si sa note est supérieure à 12. On suppose que les notes suivent une loi normale de moyenne 9 et d’écart type 3. 5/7 X~> N(9, 32) 1) Calculer la probabilité que l’étudiant soit ajourné. si sa note est inférieure à 8 P(X<8) on doit centrer et réduire X pour pouvoir utiliser la table P(X<8 37 0 6293 0 1 33 0 1 33 0 1 33 0 33 0 3 9 8 8 . . ) . ( F ) . Z ( P ) . ( F ) . Z ( P Z P m m X P                                  2) Calculer la probabilité que l’étudiant passe l’oral si sa note est entre 8 et 12 P(8<X<12)=   4706 0 3707 0 8413 0 33 0 1 1 33 0 3 9 12 3 9 3 9 8 12 8 . . . ) . ( F ) ( F ) Z . ( P X P X P                         3) Calculer la probabilité que l’étudiant soit admis sans oral. si sa note est supérieure à 12 P(X>12) =   12 1   X P =                 8413 0 1 1 1 3 9 12 3 9 1 . ) Z ( P X P 0.1587 6/7 4) On considère un échantillon de 4 étudiants choisit au hasard et on note X la variables aléatoire égale au nombre des étudiants ajournés (X suit une loi binomiale B(n=4 ;p) avec p la probabilité qu’un étudiant soit ajourné. a) Qu’elle est la probabilité que deux étudiants soient ajournés. b) On considère un échantillon de 500 étudiants choisit au hasard. Qu’elle est la probabilité pour que le nombre d’étudiants ajournés soit compris entre 132 et 135. 7/7 uploads/Voyage/ se-rie-3-probabilite-s-et-statistiques 2 .pdf