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4 Dimensionnement des sections en flexion simple 4.1 Generalites 4.1.1 Domaine

4 Dimensionnement des sections en flexion simple 4.1 Generalites 4.1.1 Domaine d'application Un element est soumis a de la flexion simple si les sollicitations se reduisent a un moment flechissant M z et un effort tranchant V y . Si I'effort normal N x n'est pas nul, alors on parle de flexion composee (voir la partie 11). En beton arme on distingue Taction du moment flechissant qui conduit au dimensionne- ment des aciers longitudinaux de Taction de I'effort tranchant qui concerne le dimensionnement des aciers transversaux (cadres, epingles ou etriers). Ces deux calculs sont menes separement, et dans cette partie on se limitera aux calculs relatifs au moment flechissant. La partie 5 traitera des calculs relatifs a I'effort tranchant. Les elements d'une structure soumis a de la flexion simple sont principalement les poutres, qu'elles soient isostatiques ou continues. Pour une poutre iso- statique, le calcul des sollicitations M z et V y est simple et il est conduit en utilisant les methodes de la resistance de materiaux (RdM). Pour une poutre continue, Thyperstaticite rend les calculs plus compliques et le BAEL propose deux methodes qui permettent d'evaluer les sollicitations dans les poutres conti- nues en beton arme. Ces deux methodes sont presentees dans la partie 7 ainsi que la construction de Tepure d'arret de barres a partir de la connaissance de la courbe enveloppe du moment flechissant. Ce qui suit est limite au calcul des sections rectangulaires et en T sans acier comprime. Pour ce qui est des sections en T on se reportera au paragraphe 4.4. S'il apparaTt necessaire de placer des aciers comprimes dans une section de beton, c'est que son coffrage est mal dimensionne et il est preferable pour des raisons economiques, mais aussi de fonctionnement, de le modifier. 4.1.2 Portees des poutres En beton arme, la portee des poutres a prendre en compte est (voir Figure 24) : - la portee entr'axe d'appuis lorsqu'il y a des appareils d'appui ou que la poutre repose sur des voiles en maconnerie, - la portee entre nus d'appuis lorsque les appuis sont en beton arme (poutre principale, poteau ou voile). 4.2 Flexion simple a I'ELU 4.2.1 Hypotheses Les principals hypotheses du calcul des sections en BA soumises a de la flexion simple aux ELU sont les suivantes : / les sections planes restent planes, / il n'y a pas de glissement a Tinterface beton-armatures, / le beton tendu est neglige, / I'aire des aciers n'est pas deduite de celle du beton, / I'aire des aciers est concentree en son centre de gravite, / le comportement de Tacier est defini par le diagramme contrainte- deformation 36 Beton Arme IUP GCI3 - Option OS - 2004/05 1 1 1 ■ h ■ h ■ Appareils d'appuis Ma?onerie BA Fig. 24 : Definition de la portee d'une poutre selon qu'elle repose sur des appareils d'appuis, des elements en maconnerie ou en beton arme. de calcul de la Figure 12. / pour le comportement du beton, on adoptera le diagramme rectangulaire sim- pl if ie (car la section n'est que partiellement comprimee) , defini sur la Figure 25, ou la contrainte de calcul a I'ELU du beton est donnee par : fl 0.85/, bu <:i Olb avec f c j la resistance caracteristique requise en compression a j jours du beton, 9 un coefficient qui tient compte de la duree d'application des charges. 7b = 1.5 dans les cas courants. < \ f ' i • > f ' * ^ z. ^ ^ 5 °6 DEFORMATIONS CONTRAINTES PARABOLE - RECTANGLE bit CONTRAINTES RECTANGULAIRE SIMPLIFIE Fig. 25 : Definition des diagrammes contrainte-deformation parabole-rectangle Figure (8) et rectangulaire simplifie dans la section de beton comprime 4.2.2 Notations Pour les calculs aux ELU, on utilise les notations de la Figure 26, ou: / b et h sont la largeur et la hauteur de la section de beton. / A s est la section d'acier, dont le centre de gravite est positionne a d de la 4.2 Flexion simple a I'ELU 37 fibre la plus comprimee du coffrage. / y u est la position de I'axe neutre par rapport a la fibre la plus comprimee du coffrage. / a s t est la valeur de la contrainte de calcul des aciers, limitee a f su . y 1 • 1 "A A , „ A A.N. 1 z As ^s OJbyufbu Asa,, Fig. 26: Notations utilisees pour les calculs de flexion simple a I'ELU. 4.2.3 Droites de deformation - Pivots Pour les calculs a I'ELU, on suppose qu'un point de la droite de deformation dans la section est fixe. Ce point s'appelle le pivot. Soit il correspond a la deformation limite de traction dans les aciers t s t = 10 % : c'est le Pivot A, soit il correspond a la deformation limite en compression du beton £5 Cmax = 3.5 % : c'est le Pivot B. Toutes les droites de deformation comprises entre la droite (Pivot A, £b Cmax = 0) et (e s t = 0°/ oo , Pivot B) sont possibles, comme le montre la Figure 27. Le bon fonctionnement de la section de Beton Arme se situe aux alentours de la droite AB, car les deux materiaux - acier et beton - travail lent au mieux. y„=0 a u =0 y u =0.259d y„=0.617d y u = d a u =0.259 a u =0.617 a„=l \i AB =0.186 y». 351lr3 ^=0.372 y , iim i H Rh =0.480 V, Pivot A E,„ = 10 Iff 3 => "a =ftsu Pivot B E,„>8 e = 2.17 ia 3 => a si =fsu Pivot B £si<e. e = 2.17 Iff 3 => a sl = E s z s , Fig. 27 : Definitions des differentes droites de deformation possibles en flexion simple a I'ELU et des Pivots. 38 Beton Arme IUP GCI3 - Option OS - 2004/05 4.2.4 Equations de l'equilibre L'equilibre de la section vis a vis de I'effort normal et du moment flechissant conduit aux deux equations suivantes : selon N : N u = 0.8by u f bu - A s a st = selon M : M u = 0.8by u f bu (d - 0Ay u ) eny = -(d-y u ) = A s a st {d - 0.4y u ) en y = 0.6y n = 0.8by u f bu 0.6y u + A s a st (d - y u ) enj/ = 4.2.5 Compatibilite des deformations L'hypothese de continuite des deformations dans la section (pas de glissement des armatures par rapport au beton) conduit a I'equation suivante : e 6c max e st yu d-y u d'ou si la droite de deformation passe par le pivot A, la deformation maximale du beton comprime vaut : Pivot A: e bc =— 10 % , d-y u et si la droite de deformation passe par le pivot B, la deformation des aciers vaut : d — y u Pivot B: e st = 3.5 / 00 . Vu 4.2.6 Adimensionnement : On definit les quantites adimensionnees suivantes : a u = -^ la hauteur reduite d et u v = , r, " le moment ultime reduit. ^ bd 2 f bu II vient d'apres les equations de l'equilibre : fi u = 0.8a„(l -0Aa u ). La hauteur reduite est solution de I'equation du second degres precedente : a u = 1.25(1 - Vl-2/x u ). 4.2.7 Calcul des sections d'acier Dans la phase de calcul des aciers, les inconnues sont : A s , a s t, d et y u . Afin d'eliminer une inconnue, on fait l'hypothese complementaire d ~ 0.9/i. On calcule le moment ultime reduit \x u , puis a u . Le Pivot et la contrainte dans les aciers a s t sont determines a partir de I'abaque de la Figure 28, en fonction de la valeur de a u . 4.3 Flexion simple a I'ELS 39 V AB =0.186 \^m=0.372 » Rb =0.480 a«=0 ».sl a AB =0.259 Pivot A Acicrs plastiqucs a st ~f« a ulim' =0.617 Pivot B «^ =1 Acicrs clastiqucs c st = E s (1-0^3.5/ 'clu Section dc beton insuffisante Ou mettre des aciers comprimes (mauvais) Fig. 28 : Valeurs de a Ul du pivot et des la contrainte dans les aciers tendus a s t en fonction de la valeur du moment ultime reduit \x u . La section d'acier est ensuite obtenue par : A, M„ cr s td(l - 0.4a„ Apres ce calcul, il est bon de calculer la valeur exacte de d en fonction du ferraillage mis en place et de verifier qu'elle est superieure a 0.9h, ce qui va dans le sens de la securite. On peut eventuellement iterer afin d'optimiser le ferraillage. 4.2.8 Pre-dimensionnement Pour un pre-dimensionnement rapide de la hauteur du coffrage, on se place sur la droite de deformation AB (fi u « 0.2), d'ou bd 2 M,„ 0.2/ ( bu avec d « 0.9/i et b w 0.3h. 4.3 Flexion simple a I'ELS uploads/Voyage/ 4-dimensionnement-des-sections-en-flexion-simple.pdf