1 Revue Construction Métallique CALCUL DES CONTRAINTES DANS UN ÉLÉMENT SOUMIS À

1 Revue Construction Métallique CALCUL DES CONTRAINTES DANS UN ÉLÉMENT SOUMIS À DE LA TORSION par S. Baraka et A. Bureau Référence CAL-ELE 1-2000 Le calcul des contraintes dues à la torsion constitue pour le projeteur, un problème sou- vent complexe. Des notes techniques sur le calcul des caractéristiques torsionnelles, parfois avec des programmes de calcul, ont déjà été publiées dans la revue Construc- tion Métallique [1], [2], [3] et [4]. Il semble qu’il y ait encore des difficultés à évaluer les contraintes, même dans des cas relativement simples. C’est ce qu’on tente de faire ici à travers un exemple de poutre en console, sur une section à profil ouvert et sur une sec- tion à profil fermé. On se place délibérément dans le cadre des hypothèses et des méthodes de l’annexe G de l’Eurocode 3 [5] mais il n’est pas nécessaire de connaître ce texte pour comprendre la présente note. Les caractéristiques torsionnelles qui ne sont pas données par les tables habituelles peuvent être évaluées en supposant que les parois de la section sont suffi- samment élancées pour pouvoir effectuer tous les calculs en ligne moyenne du profil. On admettra que ceci est vrai pour tous les laminés courants. Afin de comparer les différentes contraintes trouvées, on a cumulé les contraintes de torsion qui sont l’objet de cette note, aux contraintes dues à la flexion. Pour les contraintes normales, il s’agit des contraintes habituellement calculées, notamment sur les bords extérieurs des ailes (contraintes maxi). Pour les contraintes de cisaillement, il s’agit de celles calculées «exactement» le long des parois. Le lecteur pourra par la suite, simplifier ces calculs en adoptant les seules contraintes de cisaillement moyennes qui sont prises en compte dans les calculs courants. Principales notations La notation est celle de l’Eurocode 3. B : Bimoment E : Module d’élasticité longitudinale G : Module d’élasticité transversale It : Inertie de torsion de St Venant Iω : Inertie sectorielle M : Moment de flexion 1 CENTRE TECHNIQUE INDUSTRIEL DE LA CONSTRUCTION MÉTALLIQUE Domaine de Saint-Paul, 78470 Saint-Rémy-lès-Chevreuse Tél. : 01-30-85-25-00 - Télécopieur 01-30-52-75-38 Construction Métallique, n° 1-2000 S. BARAKA – Ingénieur au CTICM A. BUREAU – Ingénieur au CTICM CAL-ELE 1-2000 Construction Métallique, n° 1-2000 86 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 2 Sω : Moment statique sectoriel T : Moment de torsion total Tv : Moment de torsion de St Venant Tw : Moment de torsion non uniforme V : Effort tranchant σ : Contrainte normale à la section τ : Contrainte de cisaillement ω : Aire sectorielle Signes : Les axes généraux sont ceux de l’Eurocode 3. Les signes particuliers choisis pour les aires sectorielles, les moments statiques secto- riels et les bimoments sont donnés dans le cours de l’exposé. 1. – SECTIONS OUVERTES L’élément étudié est une console constituée par un profil UAP 200 en acier S235, soudé sur la semelle d’un poteau. L’encastrement est supposé parfait. La vérification par rap- port à l’instabilité globale ou locale n’entre pas dans le cadre de la présente note tech- nique. Fig. 1 Une charge ponctuelle F est appliquée à l’extrémité de la console, dans le plan moyen de l’âme. Étant donnée la position du centre de torsion, le moment de torsion induit est négatif. 1,1. – Caractéristiques de la section Le catalogue de l’OTUA [6] fournit les dimensions de la section et les caractéristiques mécaniques des sections UAP. Ces caractéristiques comprennent notamment la position du centre de gravité G, celle du centre de cisaillement S et l’inertie de torsion de St-Venant. x UAP 200 L = 2 m F = – 10 kN F Construction Métallique, n° 1-2000 CAL-ELE 1-2000 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 87 3 yG = 18,2 mm yS = 27,1 mm It = 11,24 cm4 Dans la suite, on néglige l’effet des congés de raccordement. Fig. 2 Diagramme des aires sectorielles Les aires sectorielles ne sont pas données en général par les tables de profilés. Le diagramme des aires sectorielles est donné à la figure 3. Les valeurs de ω0 et ω1 peu- vent être calculées à l’aide des expressions suivantes : ω0 = hb(α – 1)/2 ω1 = hbα/2 avec : α = = 0,382 On obtient ainsi : ω0 = – 4135 mm2 et ω1 = + 2556 mm2 Fig. 3 Note : Le signe est choisi en fonction du sens du gauchissement (+ pour une extension de la fibre concernée) Dans notre exemple, le moment de torsion peut être assimilé à deux forces produisant un couple équivalent sur la section (voir la figure 4). La flexion des ailes montre les positions des points en traction et compression. Les signes des aires sectorielles que nous avons adoptés sont dans le sens du gauchissement (déplacement suivant x). Elles impliquent que le bimoment est positif si la contrainte normale est écrite de la manière suivante : σω = + Bω/Iw ω0 ω0 ω1 ω1 1 ––––––––––––– htw 2 + ––––––– 3btf tw = 8 mm tf = 11,5 mm h = 188,5 mm S G z y ys yG b = 71 mm CAL-ELE 1-2000 Construction Métallique, n° 1-2000 88 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 4 Des conventions de signe différentes peuvent être trouvées dans la littérature. L’annexe G de l’Eurocode 3 ne fixe malheureusement aucune convention. Fig. 4 Diagramme des moments statiques sectoriels La figure 5 présente le diagramme des moments statiques sec- toriels. Les expressions suivantes permettent de calculer les valeurs particulières du diagramme. Sω1 = 0,25hb2tf(1 – 2α) Sω2 = 0,25hb2tf [ 1 – 2α – αhtw / (2btf) ] Sω3 = 0,25hb2tf (1 – α)2 (maxi sur semelle) Fig. 5 On obtient : Sω1 = + 0,644 . 106 mm4 (+ 64,4 cm4) Sω2 = – 0,319 . 106 mm4 (– 31,9 cm4) Sω3 = + 1,043 . 106 mm4 (+ 104,3 cm4) Inertie sectorielle Elle est obtenue par l’expression : Iw =   D’où : Iw = 10396 . 106 mm6 (Iw = 10396 cm6) 1,2. – Calcul des efforts (analyse globale) La force F engendre : – un effort tranchant constant sur la longueur de l’élément (Vz = – F), – un moment fléchissant (My) qui varie linéairement de 0 à l’extrémité de l’élément, à FL au droit de l’encastrement, – un moment de torsion constant sur la longueur de l’élément (T = FyS). 2htw + 3btf –––––––––––––––––– htw + 6btf b3h2tf ––––––––––– 12 Sω1 Sω3 Sω2 Moment Traction Compression C T Construction Métallique, n° 1-2000 CAL-ELE 1-2000 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 89 5 Le moment de torsion se décompose en un moment de torsion de St Venant (TV) et un moment de torsion non uniforme (Tw) : T = Tv + Tw ou encore en fonction des déplacements généralisés, T(x) = GIt – EIw où : θ est l’angle de rotation par rapport à l’axe longitudinal (angle de torsion), x est l’abscisse de la section considérée, à partir de l’encastrement (où θ = 0). Dans toute la suite, on pose : λ =  L’équation différentielle linéaire en θ a pour solution : θ(x) = a + b sinh(λx) + c cosh(λx) + x où a, b et c sont des constantes qui peuvent être calculées en écrivant les conditions aux limites suivantes : • pour x = 0 θ = 0 ⇒ a + c = 0 (rotation nulle) θ′ = 0 ⇒ λb + = 0 (gauchissement nul) • pour x = L θ″ = 0 ⇒ bλ2 sinh(λL) + cλ2 cosh(λL) = 0 (bimoment nul à l’extrémité) On peut exprimer les constantes : b = – et a = – c = – tanh(λL) D’où l’expression de la rotation : θ(x) = λx + – tanh (λL) Cette relation permet de calculer, entre autres : a) la rotation à l’extrémité de la console pour x = L, θ = 1 – tanh (λL) Le facteur entre crochets représente le coefficient de réduction de la rotation par rapport à la torsion uniforme. 1 –––– λL TL ––––– GIt sinh(λ(L – x)) ––––––––––––––––––––––– cosh (λL) T –––––– λGIt T –––––– λGIt T –––––– λGIt T –––– GIt T –––– GIt GIt ––––– EIw d3θ –––––– dx3 dθ –––– dx CAL-ELE 1-2000 Construction Métallique, n° 1-2000 90 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 6 b) le moment de torsion de St Venant Tv = GIt = T1 –  ainsi • pour x = 0, Tv = 0 • pour x = L, Tv = T1 –  c) le moment de torsion non uniforme Tw = – EIw = T  ainsi • pour x = 0, Tw = T • pour x = L, Tw T  Fig. 6 d) le bimoment Le bimoment s’exprime par : B = Tw dx = – Ainsi, • pour x = 0, B = – T tanh(λL)/l • pour x = L, B = 0 Fig. 7 0 2 m Bimoment sinh (λ(L – x)) ––––––––––––––––––––––– cosh (λL) T –– λ  0 x Moment de torsion total : T = 0,271 kN.m Part du moment de torsion non uniforme Tw Part du uploads/Voyage/ calcul-des-contraintes-dans-un-profile-metallique.pdf

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• Publié le Mar 22, 2022
• Catégorie Travel / Voayage
• Langue French
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