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1 SP/EH/DR 05 ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE INSTITUT DE STRUCTURES –

1 SP/EH/DR 05 ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE INSTITUT DE STRUCTURES – LABORATOIRE DE CONSTRUCTION EN BETON Dr Olivier Burdet, Assistant : S. Plumey, E. Hars, D. Redaelli EXERCICES 4ème - 6ème SEMESTRE 2005 Corrigé exercice 6: Précontrainte dans les poutres 1. Tracé de la précontrainte a) Déterminer les points de passage des câbles de précontrainte dans les sections à mi- travée, sur appuis et aux extrémités de la poutre. Expliquez les raisons de vos choix. Pour obtenir un degré de balancement le plus grand possible, on essaye de maximiser l’effet positif de la précontrainte en augmentant l’excentricité du câble, donc en le plaçant le plus bas possible à mi-travée et le plus haut possible sur les appuis (flèche utile maximale, voir figure 1). Remarque : Ce principe (maximisation de la flèche pour un balancement le plus efficace) est valable pour les structures de type poutre continue. Dans notre cas, la poutre est isostatique, donc les efforts hyperstatiques sont nuls. L’effet de la précontrainte dans une section est donc donné uniquement par la position du câble dans cette section et ceci indépendamment du tracé (effets primaires). Il n’est donc pas nécessaire de maximiser la flèche du câble en passant le plus haut possible sur les appuis. En fait, il peut être plus judicieux de positionner le câble sur appui de sorte que le rapport Mprec/Mg soit le même qu’à mi-travé. On obtient ainsi un meilleur comportement en service. Par contre, le bras de levier du câble utilisable pour la reprise du moment à la ruine est plus petit (pas un problème ici car le moment est très petit puisque le porte-à-faux est petit). Pour ce qui concerne les extrémités de la poutre où les moments dus aux charges sont nuls, on essaye de placer le câble au centre de gravité de sorte qu’il ne produise pas de moment. Pour des raisons constructives, il peut cependant être nécessaire de s’écarter de cette position idéale. Dans ce cas, il faut s’assurer que ce moment peut être repris convenablement par le dimensionnement. T T sur appui à mi-travée e e Figure 1a ENAC – IS - BETON Exercice 6 2 SP/EH/DR 05 b) Dessiner le tracé de la précontrainte. Figure 1b 2. Dimensionnement et vérification de la précontrainte a) Déterminer la quantité de précontrainte nécessaire pour balancer 85 % des charges permanentes (β = 0.85). En admettant que les pertes à l’infini valent 20 %, que vaut P0 ? En quoi consistent ces pertes ? Charges permanentes : g = (0.2⋅2 +0.25⋅1)⋅25 = 16.25 kN/m g’= 25 kN/m Force de deviation nécessaire: u = β⋅(g + g`) = 0.85⋅(16.25+25) = 35 kN/m Précontrainte nécessaire: u = 8⋅P⋅f / l2 ⇒ P∞ = u⋅ l2 /(8⋅f) = 35⋅162 / (8⋅1.05) = 1067 kN avec f = 1.2 – 2⋅(0.030+0.07/2+0.01) = 1.2 -2⋅0.075 = 1.05 m esup = 0.33-0.075 = 0.255 m, etrav = 0.87 – 0.075 = 0.795 m. En estimant les pertes de précontrainte à long terme à 20% ⇒ P∞ = 0.8 ⋅ P0 ⇒ P0 = P∞ / 0.8 = 1333 kN Ces pertes correspondent aux effets du retrait et du fluage du béton, de relaxation des câbles (effets différés), et du frottement. Elles varient donc dans le temps et l’espace, et doivent être calculées de manière plus précise lors du dimensionnement final. Nombre de torons de précontrainte Y1770S7-15.7: n = P0 / (ap ⋅ 0.7⋅fpk) = 1333 / (150 ⋅ 0.7⋅1770 ⋅10-3) = 8 torons b) Choisir l’unité (les unités) de précontrainte et faire un schéma sur la figure 2 de la partie inférieure de la section à mi-travée en considérant la position de l’armature passive (à calculer au point e)). On peut choisir un câble de 8 torons (8T15S) qui a un diamètre de gaine φ d = 67 mm et une excentricité de 7 mm, à la figure 2. Un câble 8T15S n’utilise malheureusement pas pleinement la tête d’ancrage. Pour le calcul de l’armature passive voir 2 e). ENAC – IS - BETON Exercice 6 3 SP/EH/DR 05 6 φ 26 φ 10 8T15S armature constructive Figure 2 c) Déterminer l’état de contraintes à long terme sous charges permanentes dans la section à mi-travée. Les contraintes peuvent être déterminées par : y I e N M A N W e N M A N q , ' g , g q , ' g , g ⋅ + + = ⋅ + + = σ Alternativement, le moment Mg,g’,q,u peut être calculé, et le terme N⋅e tombe. Mais pour ceci, u doit être connu dans les porte-a-faux également. L’effort normal correspond à la force de précontrainte à long terme: N = -P∞ =- 0.8 ⋅ P0 =- 0.8 ⋅8⋅ 0.7 ⋅ 150 ⋅ 1.770 = -1189 kN Moment sur appui : kNm 119 2 2 ) 25 25 . 16 30 6 . 0 ( 2 2 ) ' g g q 6 . 0 ( M 2 2 q , ' g , g − = ⋅ + + ⋅ − = ⋅ + + ⋅ − = − Moment à mi-travée : kNm 1777 119 8 16 ) 25 25 . 16 30 6 . 0 ( M 8 16 ) ' g g q 6 . 0 ( M 2 2 q , ' g , g = − ⋅ + + ⋅ = − ⋅ + + ⋅ = − + Les contraintes maximales à mi-travée : 2 2 . inf . trav 2 2 . sup . trav mm / N 5 . 7 m / kN 7501 87 . 0 077551 . 0 795 . 0 1189 1777 65 . 0 1189 mm / N 4 . 5 m / kN 5369 33 . 0 077551 . 0 795 . 0 1189 1777 65 . 0 1189 = = ⋅ ⋅ − + − = − = − = − ⋅ ⋅ − + − = σ σ Si l’on compare ces valeurs à la résistance moyenne à la traction de l’élément fctd = kt ⋅ fctm = ⋅ ⋅ + t 5 . 0 1 1 fctm = ⋅ ⋅ + 2 . 0 5 . 0 1 1 2.9 = 2.64 N/mm2, on constate que la section est largement fissurée sous charges quasi-permanentes à long terme. Ceci est dû principalement aux charges utiles très importantes que doit supporter la poutre. La fissuration devra donc être contrôlée par la mise en place d’une armature minimale. Si les autres critères d’état de service (flèche) ne sont pas remplis, il faudra éventuellement augmenter la quantité de précontrainte mise en place. ENAC – IS - BETON Exercice 6 4 SP/EH/DR 05 d) Calculer la flèche de la poutre à long terme. Le dimensionnement satisfait-il la norme SIA 260 (wadm = l/300) ? Une estimation précise de la flèche à long terme est assez compliquée dans ce cas puisque la section est partiellement fissurée d’une part et qu’elle est soumise à un effort normal (précontrainte) d’autre part. La rigidité flexionnelle d’une section soumise à un effort normal de compression n’est pas affectée brusquement par la fissuration comme pour une section soumise à une flexion simple. La perte de rigidité de la section suite à la fissuration, qui dépend du niveau de sollicitation, est moins importante que pour une section sans effort normal de compression. La relation de la norme SIA 262 (équation 87) ne permet donc pas d’estimer de façon réaliste la flèche à l’état fissuré. A noter en plus que l’utilisation de cette équation pour une section à Té n’est pas évidente (choix de ρ et ρ’). La flèche admissible à long terme vaut : wadm = l / 300 =16 / 300 = 0.053 m = 53 mm Estimation de la flèche : La flèche (1+ ϕ) ⋅wc reste néanmoins un point de comparaison pour estimer la flèche probable à long terme (avec ϕ ≈ 2.5). En négligant l’effet des porte-à-faux (environ une poutre simple) et en admettant une force de précontrainte qui vaut P∞ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mm . . . . . I E l q g wc 28 077551 0 10 6 33 16 30 6 0 15 0 41 384 5 5 2 1 1 384 5 1 1 6 4 4 2 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ Ψ + − ⋅ ⋅ + = ⋅ + β ϕ ϕ On constate que w·(1+ϕ) / wadm = 0.52. Il y a donc une marge suffisante pour couvrir la perte de rigidité due à la fissuration. Un calcul plus précis de la rigidité flexionnelle effective basé sur le comportement de la section précontrainte (diagramme Moment-courbure) pourrait être fait. e) Vérifier la sécurité structurale en flexion. Dimensionner le cas échéant l’armature passive nécessaire. Md ≤ MR d La précontrainte est considérée comme une armature à haute résistance. Elle n’intervient donc pas pour le calcul de Md ! qd - =γG ⋅ ( g+ g`) + uploads/Voyage/ corrige-6 1 .pdf