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CONSTRUCTIONS CIVILES B1 Conservatoire National Des arts et métiers Mr BENNABI

CONSTRUCTIONS CIVILES B1 Conservatoire National Des arts et métiers Mr BENNABI Abdelkrim CNAM de Basse-Normandie Reproduction et diffusion interdites sans l’accord de l’auteur 1/8 EXERCICE N°1 : 1 - Vecteurs contraintes : ( ) 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 , 1 1 r r r r =                 = ⋅ = σ σ e e M T ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 2 2 r r r r =                 = ⋅ = σ σ e e M T ( ) 3 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , e e e M T r r r r σ σ σ =                 = ⋅ = 2 - Vecteur contrainte relatif à la facette de normale unitaire ( ) 3 2 1, n n n n r : ( ) 3 3 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 , e n n n n n n M T r r r r σ σ σ =                 = ⋅ = La contrainte normale relative à cette facette est donnée par la relation suivante : ( ) n n M T Tn r r r ⋅ = , d’où : ( ) 2 3 3 3 2 2 1 1 3 3 n e n e n e n e n Tn σ σ = + + ⋅ = r r r r La contrainte tangentielle relative à cette facette s’obtient par la relation : 2 2 2 n t T T T − = soit : ( ) ( ) 2 3 3 2 2 3 2 3 1 n n n n Tt − = − = σ σ σ 3 – Valeur de n3 pour laquelle la contrainte tangentielle est maximale : Il s’agit de trouver la valeur de n3 telle que : 0 3 = dn dTt Séquence 01 - Corrigé CORRIGE DES EXERCICES DE LA SEQUENCE N°1 Retour au cours CONSTRUCTIONS CIVILES B1 Conservatoire National Des arts et métiers Mr BENNABI Abdelkrim Séquence 01- Corrigé 2/8 soit : 0 1 1 2 3 3 3 2 3 3 = − − − = n n n n dn dTt σ σ ce qui entraîne : 2 1 1 3 2 3 2 3 ± = ⇒ = − n n n ce qui permet d’obtenir les directions possibles entre les vecteurs n r et 3 e r : ( ) ( ) 4 3 4 , 3 π π ± ± = e n r r Le vecteur n r est donc élément d’un double cône d’angle au sommet 4 π . X3 n T n r t T 3 e r 2 e r X2 1 e r X1 EXERCICE N°2 : 1 – Contraintes s’exerçant sur les quatre faces du carré élémentaire : x2 A B D C x1 CONSTRUCTIONS CIVILES B1 Conservatoire National Des arts et métiers Mr BENNABI Abdelkrim Séquence 01- Corrigé 3/8 Face AB : le vecteur unitaire normal à cette face est le vecteur ( ) 1 , 0 2 = e r Le vecteur contrainte de normale extérieure 2 e r est donné par :        − =                 − − = 0 2 1 0 0 2 2 1 AB σ Face BC : le vecteur unitaire normal à cette face est le vecteur ( ) 0 , 1 1 = e r Le vecteur contrainte de normale extérieure 1 e r est donné par :       − =             − − = 2 1 0 1 0 2 2 1 BC σ Face CD : le vecteur unitaire normal à cette face est le vecteur ( ) 1 , 0 2 − = −e r Le vecteur contrainte de normale extérieure 2 e r − est donné par :       =       −       − − = 0 2 1 0 0 2 2 1 CD σ Pour la face DA, le même procédé donne le vecteur contrainte de normale extérieure 1 e r − :      − = 2 1 DA σ Les contraintes sont ici exprimées dans le repère ( ) 2 1,x x r r . Nous pouvons les représenter sur la figure ci- dessous : Le module des vecteurs contraintes représentés en vert (les contraintes normales) est de 1 (par exemple 1 MPa), celui des contraintes représentées en rouge (contraintes tangentielles) est de 2 . x2 A B M D C 2 – Cercle de Mohr des contraintes en M: Dans le repère ( ) τ σ , , nous allons commencer par placer deux points diamétralement opposés (formant avec le centre du cercle – qui se trouve sur l’axe des σ - un angle de 180 ° . Ces points seront les points représentatifs des contraintes agissant sur deux faces perpendiculaires, formant donc un angle moitié de celui formé, avec le centre du cercle, par les points correspondants sur le cercle de Mohr. Appelons ces points les points I et J et les contraintes correspondantes les contraintes qui agissent respectivement sur les faces BC et AB. N’oublions pas de prendre une convention de signe concernant le sens positif des contraintes tangentielles : x1 CONSTRUCTIONS CIVILES B1 Conservatoire National Des arts et métiers Mr BENNABI Abdelkrim Séquence 01- Corrigé 4/8 n r 0 > τ Construction du point I : La contrainte correspondante est :       = 2 1 BC σ . La première composante, de valeur 1, est une contrainte normale. La seconde composante est une contrainte de cisaillement. Cette dernière agit dans le sens positif de la convention choisie. Le point I a par conséquent pour coordonnées 1 et 2 dans le repère de Mohr. Construction du point J : La contrainte correspondante est :      − = 0 2 AB σ . La première composante, de valeur 2 − est une contrainte de cisaillement. Elle est orientée dans le sens négatif par rapport à la convention choisie (son signe négatif est donc conservé). Les coordonnées du point J sont 0 et 2 − τ I 1 β α -1 0 1 2 σ σI = 2, σII = -1 -1 J CONSTRUCTIONS CIVILES B1 Conservatoire National Des arts et métiers Mr BENNABI Abdelkrim Séquence 01- Corrigé 5/8 Pour se confondre avec la face AB, la face BC tourne dans le sens positif (de 1 x r vers 2 x r ) de 90 °. Le point I correspondant à la contrainte associée à cette face tourne, lui, de 180° dans le même sens pour se confondre avec le point J. Contraintes principales : Par définition, les contraintes principales sont celles qui agissent sur des faces où les contraintes de cisaillement sont nulles. Sur le cercle de Mohr, il s’agit donc des points qui ont une ordonnée nulle. Ces deux points, d’abcisses –1 et 2, représentent les deux contraintes principales ainsi que les faces sur lesquelles elles agissent. Nous appellerons ces deux contraintes principales σI et σII (σI = 2, σII = -1). Direction des contraintes principales : Nous allons de nouveau utiliser la propriété de la correspondance entre la rotation dans le repère réel lié à la structure et la rotation double sur le cercle de Mohr. Sur le cercle de Mohr, l’angle α est mesuré avec un rapporteur (α = 70,5°). Cet angle sépare le point I du point représentant la contrainte principale σI (et la facette sur laquelle elle s ‘exerce). Par conséquent, dans la structure, les facettes correspondant à ces deux points font entre elles un angle de ° = 25 , 35 2 α . x2 σII = -1 β/2 A x1 α/2 σI = 2 Pour trouver la direction de la deuxième contrainte principale (σII = -1), il suffit de partir d’un point connu sur le cercle de Mohr (un point dont on connaît la contrainte et la facette associées), de mesurer l’angle qui le sépare du point correspondant à σII . La facette associée à σII sera celle qui fera un angle égal à la moitié de celui mesuré sur le cercle de Mohr (dans le même sens) . Nous pouvons partir du point I. L’angle β mesure 109, 5 uploads/Voyage/ cvb1-01-corrige.pdf