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MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE République du Mali LA RECHERCHE SCI

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE République du Mali LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE (MESRS) Un Peuple – Un-But – Une Foi Master 2 _ conception des systèmes Mécaniques _ Ecole Nationale d’ingenieurs Abderhame Baba Touré CHAPITRE 4: INTENSIFICATION DES CONTRAINTES PRES DES FISSURES GROUPE I : SIDY TRAORE AISSATA FOFANA MAHAMADOU MAKAN DIAKITE MAITRE CHARGE DU COURS: D KALILOU SIDIBE TABLE DE MATIERE IV.1 Introduction IV.2 Modes de sollicitation des fissures IV.3 Méthode de Westergaard IV.4 Expressions des contraintes et des déplacements IV.5 Expressions des contraintes et des déplacement à partir du facteur d’intensité des contraintes IV.6 Mode de cisaillement antiplan IV.7 Méthodes de calcul du facteur d’intensité des contraintes IV.7.1 Principe de superposition en mécanique de la rupture IV.1 Introduction La concentration des contraintes au voisinage d’une entaille, étudiée dans le chapitre précédent, a permis d’introduire le facteur de concentration des contraintes , un paramètre important pour caractériser la sévérité d’une entaille. Ce paramètre est défini pour une plaque percée d’un trou de forme elliptique à partir des longueurs des petit axe et grand axes de l’ellipse, ou de et du rayon à fond d’entaille : 1 IV.1 Introduction Une fissure peut être considérée comme une entaille elliptique très aplatie, c'est-à-dire avec b << a ou encore ρ<< a . Dans ces conditions, Kt → ∞ et le concept de facteur de concentration des contraintes ne peut alors décrire la répartition des contraintes à l’extrémité d’une fissure. Il est donc nécessaire d’introduire un nouveau paramètre pour caractériser cette répartition : s’appuyant sur les travaux de Westergaard, Irwin proposa le concept de Facteur d’Intensité des Contraintes (FIC). L’application du concept de FIC à la description de la propagation des fissures est appelée communément Mécanique Linéaire de La Rupture. 2 IV.1 Introduction L’utilisation du FIC comme paramètre unique pour décrire la répartition des contraintes au voisinage d’une fissure est justifiée par les similitudes que l’on peut observer entre différentes fissures soumises à des contraintes de traction. La figure IV.1 montre des clichés obtenus par la méthode photo-élastique pour trois fissures différentes dans une plaque chargée en traction. Ces clichés montrent des franges très similaires, ce qui suggère qu’il en est de même de la répartition des contraintes aux extrémités de ces fissures. 3 IV.1 Introduction Le concept de FIC est présenté dans ce chapitre. Pour la détermination théorique du champ des contraintes et des déplacements à l’extrémité d’une fissure, on utilise l’approche de Westergaard qui s’appuie sur la méthode de fonction d’Airy décrite par les potentiels complexes étudiés au chapitre II. L’approche de Westergaard considère une fissure dans un milieu infini et s’intéresse au voisinage immédiat de l’extrémité d’une fissure. Les champs de contraintes et de déplacements, valables uniquement dans ce voisinage immédiat, sont appelés champs asymptotiques. 4 IV.2 Modes de sollicitation des fissures Si on considère une fissure dans un plan, on distingue selon la direction de sollicitation trois modes de déplacement des lèvres de la fissure. Ces modes indiqués sur la figure IV.2 correspondent à différentes cinématiques de déplacement des lèvres de la fissure : 5 IV.2 Modes de sollicitation des fissures - Mode I ou mode d’ouverture ; le champ de déplacement relatif des lèvres de la fissure est définie par : IV.2a - Mode II ou mode de cisaillement plan ; le champ de déplacement relatif des lèvres de la fissure est défini par : IV.2b - Mode III ou mode de cisaillement antiplan ; le champ de déplacement relatif des lèvres de la fissure est défini par : 6 IV.2 Modes de sollicitation des fissures Les modes I et II correspondent à des sollicitations planes, ce qui n’est pas le cas du mode III. Le mode I conduit à une discontinuité des déplacements selon la direction ; alors que dans le mode II, la discontinuité est selon la direction Les modes II et III se produisent lorsque les fissures sont soumises à des contraintes cycliques de cisaillement. Cependant, l’expérience montre que les fissures qui s’amorcent sous ces modes de sollicitations, ont tendance très rapidement à se propager perpendiculairement à la direction de sollicitation, c'est-à-dire en mode d’ouverture qui est le plus endommageant. 7 IV.2 Modes de sollicitation des fissures Les fissures en service ne se présentent pas toujours dans la configuration schématisée sur la figure IV.2. Lorsqu’elles sont suffisamment longues, elles traversent en général les structures minces telles des plaques, par exemple. Dans les structures plus épaisses, elles peuvent être de coin ou de surface. La figure IV.3 montre par exemple les différentes configurations de fissures que l’on peut observer au voisinage d’une entaille circulaire. Une fissure traversante avec un front bien défini est généralement traitée comme un problème bi dimensionnel. Pour les fissures de coin ou de surface, on a recours à des calculs tri dimensionnels pour déterminer les champs de contraintes et de déplacements. 8 IV.3 Méthode de Westergaard On a vu au chapitre II, qu’en élasticité plane, les contraintes dérivent d’une fonction de contrainte bi harmonique : la fonction d’Airy dont l’expression, en fonction de potentiels complexes , est : Les composantes des contraintes sont données par : Nous sommes partis de ces contraintes pour aboutir a la contrainte suivant les differents axes et dans le plan x,y qui donne la formule 9 IV.3 Méthode de Westergaard Considérons à présent un corps solide fissuré, avec une taille de fissure très petite par rapport aux dimensions du corps fissuré. Le corps fissuré étant soumis à un chargement donné, on note 2a la longueur de la fissure (figure IV.4). Les lèvres L de la fissure sont non chargées et donc le vecteur contrainte est nul. La normale aux lèvres étant , on a =, soit : IV.5 Les expressions IV.4 conduisent alors à On en déduit donc que sur les lèvres L de la fissure : 10 IV.3 Méthode de Westergaard 11 IV.3 Méthode de Westergaard Compte tenu de IV.6, les relations IV.3 et IV.4 deviennent : 12 IV.3 Méthode de Westergaard On peut donc considérer que le champ des contraintes est la superposition de deux champs dérivant de deux fonctions d’Airy : Le champ engendré par correspond en fait au mode I de sollicitation et celui engendré par au mode II. On confirmera a posteriori cette assertion après calcul des déplacements et vérification des conditions limites sur les lèvres de la fissure. 13 IV.3 Méthode de Westergaard La méthode de Westergaard consiste précisément à décomposer le déplacement que subit la fissure en modes I et II de sollicitation. Westergaard définit pour ces modes, les fonctions analytiques suivantes : 14 IV.3 Méthode de Westergaard Avec ces notations, les deux fonctions d’Airy données par les relations IV.11 deviennent : 15 IV.4 Expressions des contraintes et des déplacements Les expressions des contraintes se déduisent directement des relations IV.10 : elles diffèrent selon le mode de sollicitation. Les expressions des déplacements différent également en fonction du mode de sollicitation et selon qu’on est en présence d’un état de déformations planes ou de contraintes planes. La différence entre ces deux états est liée aux équations de comportement (relations II.10a et II.10b du chapitre II) donnant les composantes du tenseur e des déformations en fonction de celles du tenseur s des contraintes. On peut regrouper ces relations et écrire la loi de Hooke sous la forme suivante : Avant d’effectuer les calculs, il convient de rappeler que pour toute fonction analytique g(z) , on a : 16 IV.4 Expressions des contraintes et des déplacements D’après la relation IV.10, les contraintes en mode I sont données par : 19 IV.4.1 Mode I d’ouverture Expressions des contraintes IV.4 Expressions des contraintes et des déplacements Expressions des déplacements On a d’après la loi de Hooke et compte tenu de la relation IV.16 : Il vient alors compte tenu des règles de dérivation IV.15 : Les règles de dérivation IV.15 permettent d’écrire : IV.4.1 Mode I d’ouverture 20 IV.4 Expressions des contraintes et des déplacements Expressions des contraintes D’après la relation IV.10, les contraintes en mode II sont données par : Expressions des déplacements IV.4.2 Mode II de cisaillement plan 21 IV.5 Expressions des contraintes et des déplacements à partir du facteur d’intensité des contraintes Il convient dans un premier temps de déterminer les fonctions analytiques et introduites par Westergaard. Considérons par exemple la fonction (le raisonnement est applicable au mode IIaussi) et examinons les conditions limites au voisinage des extrémités d’une petite fissure de longueur 2a sollicitée en mode I (figure IV.5). Sur le plan de la fissure, c’est à dire pour y=0, on a d’après les relations IV.16 : Les lèvres de la fissure étant non chargées, les conditions limites (relation IV.5) sont : 22 IV.5 Expressions des contraintes et des déplacements à partir du facteur d’intensité des contraintes 23 IV.5 Expressions des contraintes et des déplacements à partir du facteur d’intensité des contraintes 24 IV.5 Expressions des contraintes et des déplacements à partir du facteur d’intensité des contraintes 25 IV.5 Expressions des contraintes et des déplacements à partir du facteur d’intensité des contraintes Expressions des contraintes et des déformations 26 IV.5 Expressions uploads/Voyage/ 2-eme-expose-groupe-i.pdf