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1/45 COURS DE FATIGUE ET DE MECANIQUE DE LA RUPTURE E X E R C I C E S ______ 2/

1/45 COURS DE FATIGUE ET DE MECANIQUE DE LA RUPTURE E X E R C I C E S ______ 2/45 I - GENERALITES SUR LA MECANIQUE DE LA RUPTURE I.1 - Quelle est la résistance résiduelle d'un panneau contenant une fissure centrale telle que : 2a = 100 mm K1c = 44 MPa m W = 760 mm Re = 550 MPa ____________ I.2 - Une plaque chargée uniformément est calculée avec un coefficient de sécurité égal à 2. Quelle est la longueur de défaut admissible ? W = 500 mm K1c = 33 MPa m Re = 480 MPa ____________ I.3 - Détermination des contraintes principales à la pointe d'une fissure. La distribution des contraintes à la pointe d'une fissure en mode I est donnée par la relation suivante : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Π = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− Π = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ Π = 2 3 cos 2 sin 2 cos 2 2 3 sin 2 sin 1 2 cos 2 2 3 sin 2 sin 1 2 cos 2 1 1 1 θ θ θ σ θ θ θ σ θ θ θ σ r K r K r K xy xx yy Calculer les contraintes principales σ1, σ2 et σ3 pour 4 directions (θ = 0°, 30°, 45°, 90°) à la fois en contraintes planes et en déformations planes. ____________ 3/45 I.4 - La ténacité K1C d'un acier à haute résistance (Acier Maraging) décroit lorsque la limite d'élasticité augmente suivant : K1C = 360 - 0,15 Rp où K1C et Rp sont exprimés, respectivement en MPa m et en MPa. On considère une plaque mince d'épaisseur 2,5 cm utilisée pour une application dans laquelle aucune forme de propagation n'est tolérée. On prend un coefficient de sécurité de 0,75 de telle sorte que la contrainte de travail σw peut être égale à 0,75 Rp. Les techniques de contrôle non destructif permettent de déceler des défauts de surface de 5 ± 2,5 mm. Deux types de défauts (I et II) (voir figure) sont considérés comme possibles. On demande de déterminer le matériau qui aura la plus grande résistance mécanique et de trouver ainsi le traitement thermique le mieux approprié. Pour le défaut I, on prendra Kl = 2σ a ; pour le défaut II, on utilisera Kl = σ π a ____________ I.5 - Une application particulière exige la conception sûre d'un réservoir cylindrique destiné à contenir un gaz sous haute pression. On dispose des informations suivantes : - le poids et le prix de revient ne sont pas des paramètres pour le projet - la longueur du cylindre est fixée à 6 m, mais le rayon peut varier - la contrainte tangentielle σ σ θ θ ( ) = pR t ne peut excéder 80 % de la limite d'élasticité Re du matériau, avec p = pression du gaz R = rayon du réservoir t = épaisseur de la paroi - on sait que des fissures de surface, semi-circulaires de profondeur a et de longueur à la surface 2c = 2a existent après fabrication. Le facteur K pour ces fissures est K = 2σ a - une fuite avant la rupture brutale est exigée (on prendra KC = K1C). 1°) Pour une application particulière, le réalisateur calcule les variables p et R. Donner une expression pour la pression maximale de travail sous des contraintes tangentielles σθ égales à 0,8 Re, en fonction de K1C et Re pour un réservoir donné de rayon R. 2°) Lequel (s'il y en a un) des aciers suivants pourra être accepté dans votre projet si p = 21 MPa et R = 900 mm Acier Re (MPa) K1C (MPa m ) A 1000 280 B 700 180 C 1250 180 ____________ I 4/45 I.6 - On désire construire un réservoir cylindrique de stockage de gaz dont les dimensions sont fixées : hauteur = 6 mètres, rayon = 0,90 m. La pression de stockage est fixée à 10 MPa (100 bars). Pour construire cette capacité, on dispose de trois matériaux dont les caractéristiques figurent dans le tableau ci-dessous. Matériau Rp (MPa) K1C(MPa m ) A B C 1 000 700 1250 180 100 100 On recherche l'épaisseur optimale à donner sachant que : - Les codes de calcul permettent d'imposer des contraintes égales à 0,75 Rp - On admet l'existence de défauts pour lesquels on supposera simplement que K = 2σ a (voir figure). Compte tenu de l'utilisation visée, la sûreté veut que la profondeur critique de défaut soit au moins égale à l'épaisseur de l'enceinte. En effet, sinon il n'y aura pas de fuite avant rupture, ce qui est extrêmement dangereux, compte tenu de l'énergie stockée dans une enceinte pressurisée, surtout quand elle renferme un gaz. Des trois matériaux proposés, dire le (s)quel(s) conviennent. _____________ I.7 - You are asked to design a cylindrical pressure vessel to withstand 5000 psi of internal pressure. The diameter of the vessel is 30" and the wall thickness t must be equal to or greater than 0.5". You want to prevent failure caused by a surface flaw of depth. 5" and a/2c = .25. Calculate the wall thickness you have to use to prevent catastrophic failure. Consider three (3) steels. Yield strenght (ksi) K1C (ksi in ) A 260 80 B 180 140 E 140 250 Give the design stress you are using for each steel and the vessel wall thickness ____________ 5/45 I.8 - Un réservoir sous pression cylindrique de diamètres intérieur et extérieur 40 et 48 cm est réalisé en alliage d'aluminium ayant les propriétés suivantes : Re = 385 MPa K1C= 44 MPa m Le réservoir doit être soumis à une pression interne p = 70 MPa. Les techniques d'inspection ne permettent pas de déceler en service des fissures débouchant sur la face interne de moins de 0,5 cm de profondeur et de 3 cm de longueur. Le réservoir est -il sûr ? Que peut-on préconiser pour le rendre sûr ? Rappel : le facteur d'intensité de contrainte peut-être calculé de la façon suivante ; 07 , 1 12 , 1 1 a K Π = σ ____________ I.9 - On considère deux matériaux, dont les caractéristiques mécaniques sont les suivantes : - un alliage d'aluminium 2024-T3 : de limite d'élasticité Re = 490 MPa et de ténacité K1C = 110 Mnm-3/2 - un acier de limite d'élasticité Re = 1700 MPa et de ténacité K1C= 60 MNm-3/2 On veut tester deux éprouvettes constituées respectivement de chacun de ces matériaux ; on utilise des plaques à entaille centrale, contenant une fissure de longueur initiale 2a = 2 mm. La valeur du facteur d'intensité de contrainte peut être calculée par la formule suivante : K = σ π a 1°) Déterminer la contrainte critique conduisant à la rupture brutale pour ces matériaux. 2°) Commentez les résultats obtenus : selon vous, quel type de rupture obtiendra-t-on pour chacun des matériaux ? Quel matériau suggéreriez-vous d'utiliser et pourquoi ? ____________ I.10 - On considère un matériau dont les caractéristiques sont les suivantes : - ténacité K1C = 80 MPa m - limite d'élasticité : Re = 520 MPa. On réalise des essais de rupture sur deux plaques de ce matériau contenant une fissure centrale : - la première de largeur W = 500mm contient une fissure de longueur 2a = 75mm - la seconde de largeur W = 50mm contient une fissure de longueur 2a = 25mm. Pour chacune des plaques : 1) Calculer la contrainte critique qui conduirait à la rupture brutale 2) Déterminer la contrainte qui conduirait à une plastification généralisée de la section contenant la fissure 3) En déduire comment se produira la rupture dans chacun des cas et pour quelle contrainte. On rappelle KI = βσ πa avec β π = sec a W β = + − + 1 0 256 1152 12 200 2 3 . ( ) . ( ) . ( ) a W a W a W 6/45 I.11 - Un réservoir en titane doit être soumis aux cycles de charge suivants : - un cycle d’épreuve à un niveau de contrainte égal à asserv (sserv étant la contrainte de service et a le facteur d’épreuve ) - 500 cycles de fatigue sous une charge égale à sserv - 20 heures de charge statique en atmosphère agressive sous sserv Des essais de laboratoires indépendants sont menés par ailleurs pour caractériser le matériau. Ils montrent que durant un essai de fatigue mené dans les mêmes conditions, compte tenu de la progression de la fissure aj, la valeur du facteur d’intensité de contrainte maximum admissible varie suivant la loi suivante : K K N 1j 1C = − 1 0 01 2 , (ln ) avec 1≤ N ≤ 1000 cycles De même, pour le chargement statique, supposant qu’une fissure de longueur ai se développe, cette valeur varie suivant la loi : K K 1i 1C = uploads/Voyage/ exercice-s 1 .pdf