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LT Paul CONSTANS RDM Dossier référence Fiche 1 Cours Mécanique FLEXION SIMPLE D

LT Paul CONSTANS RDM Dossier référence Fiche 1 Cours Mécanique FLEXION SIMPLE Définition : Une portion de poutre est sollicitée en flexion simple suivant l’axe z si pour chacune des sections droites, le torseur de cohésion se réduit, dans le repère ) , , , ( z y x G R    = de définition des sollicitations : { } { } ) , , , ( 1 2 0 0 0 0 z y x G G G G coh Mfz Ty M R E E T              =       = → = Remarque : si Ty est nul, alors la sollicitation est appelée flexion pure Relation entre l’effort tranchant et le moment fléchissant Ty dx dMfz − = Etude des contraintes normales La poutre étant sollicitée en flexion simple, la ligne caractéristique peut être assimilée à un arc de cercle de rayon R appelé rayon de courbure Au cours de la déformation, le tronçon considéré initialement prismatique se transforme en portion de tore de rayon moyen R intercepté d’un angle α d MM’ est une fibre du tronçon joignant deux points homologues des sections Σ et ' Σ Les fibres situées dans le plan ) , , ( z x G   ne varient pas et sont appelées fibres neutres Les fibres au dessus de G (Y > 0) se raccourcissent et celles en dessous de G (Y < 0) s’allongent Rchr 14/11/12 LT Paul CONSTANS RDM Dossier référence Fiche 2 Cours Mécanique FLEXION SIMPLE Allongement / Raccourcissement relatif de la fibre M’M - coordonnées du point M (YM, ZM) dans le repère local ) , , , ( z y x G R    = - longueur initiale M’M = dx allongement relatif : dx d YM α ε − = Expression de la contrainte normale En exprimant la loi de Hooke définie par la relation E . ε σ = , on obtient : dx d Y E M M α σ . − = - la contrainte normale est nulle sur la fibre neutre - le signe s’inverse à la traversée du plan ) , , ( z x G   - la répartition est linéaire sur la section droite - le point le la section le plus sollicité est celui qui est le plus éloigné de la fibre neutre Relation entre contrainte normale et moment fléchissant Une coupure est effectuée au niveau de la section droite Σ Soit un pont M de coordonnées ) , , ( M M M Z Y X et Σ d un élément de surface entourant M L’action mécanique de cohésion s’écrit : { } ) , , , ( ) , , , ( . . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 . z y x G M M G z y x G M M d Y d d S S                 Σ − Σ =           Σ = − → + σ σ σ Le moment fléchissant Mfz est la somme des moments en G des actions mécaniques élémentaires transmises par les éléments de surface Σ d constituant le section droite avec Σ − = d Y dMfz M. .σ ∫ ∫ ∫ ∫ Σ Σ Σ Σ Σ − = Σ = Σ = Σ − = d Y Y d Y dx d E d dx d E Y d M Y Mfz M ². ². . . . ² . . σ α α σ donc ∫ Σ Σ − = d Y Y Mfz M M ². . σ Moment quadratique Rchr 14/11/12 LT Paul CONSTANS RDM Dossier référence Fiche 3 Cours Mécanique FLEXION SIMPLE La somme ∫ Σ Σ d Y². (mm4) est le moment quadratique de la section droite Σ par rapport à l’axe Gz que l’on notera GZ I . Le moment quadratique dépend uniquement de la géométrie de la section droite Théorème de Huygens Le moment quadratique d’une section par rapport à un axe contenu dans son plan est égal au moment quadratique de cette section par rapport à un axe parallèle au premier et passant par son barycentre, augmenté du produit de l’aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes. ² .d S I I G y O y + = Oy I : moment quadratique de (S) par rapport à (O, y ) (mm4) Gy I : moment quadratique de (S) par rapport à (G, y ) (mm4) S : aire de la section (S) (mm²) d : distance entre les axes (O, y )et (G, y ) (mm) Exemple : calculer le moment quadratique de l’equerre / x G : Gx I Rchr 14/11/12 ∫ Σ Σ = d Y IGZ ². LT Paul CONSTANS RDM Dossier référence Fiche 4 Cours Mécanique FLEXION SIMPLE Décomposer (S) en deux rectangles (1) AKEF et (2) BCDK 12 10 100 3 1 1 x I x G = ; 5 5 3 1 1 1 1 10 12 10 ² 10 ). 10 . 100 ( 12 10 . 100 ² . + = + = + = d S I I x G Gx 12 50 . 10 3 2 2 = x G I 4 4 3 2 2 2 2 10 . 20 12 10 . 125 ² 20 ). 10 . 50 ( 12 50 . 10 ² . + = + = + = d S I I x G Gx 4 4 2 1 10 . 2 , 41 mm I I I Gx Gx Gx = + = Module de flexion On appelle module de flexion la quantité max Y IGZ en mm3. C’est une caractéristique courante des profilés. Contrainte normale maximale max σ = contrainte normale maximale (Mpa) max Y IGZ = module de flexion (mm3) Mfz = moment de flexion sur z  (N.mm) Condition de résistance à la contrainte normale pe R : contrainte pratique de limite élastique (Mpa) = s Re e R : contrainte de limite élastique (Mpa) s : coefficient de sécurité max σ = contrainte normale maximale (Mpa) kt : coefficient de concentration de contrainte Déformations Rchr 14/11/12 GZ fz I E M x y . ) ( ' ' = max max Y I Mfz GZ − = σ pe R kt ≤ max .σ LT Paul CONSTANS RDM Dossier référence Fiche 5 Cours Mécanique FLEXION SIMPLE Soit une poutre AB sollicitée en flexion simple et ) , , , ( z y x A    un repère d’étude global qui ne se déplace pas lorsque la poutre se déforme. C est la ligne caractéristique de la poutre déformée considérée comme la graphe de la fonction ) (x f y= l’équation de la déformée s’obtient par intégration successive de y’’ Exemple GZ GZ GZ fz I E x F I E x F I E M x y . . 2 . . 2 . . ) ( ' ' − = − = = x F y I E GZ . ' ' . . . 2 − = première intégration 1 2 ² . ' . . . 2 C x F y I E GZ + − = 1 ² . ' . . . 4 C x F y I E GZ + − = recherche de C1 : y’=0 pour x = l/2 (symétrie de la déformée) 4 ² . 4 ² . 0 1 1 l F C C l F = ⇒ + − = 4 ² . ² . ' . . . 4 l F x F y I E GZ + − = deuxième intégration : 2 3 2 3 2 3 12 ². . . 3 . . 4 4 ². . 3 . . 4 ² . 3 . . . . 4 C x l F x F C x l F x F C x l F x F y I E GZ + + − = + + − = + + − = recherche de C2 : y=0 pour x = 0 (appui ponctuel d’axe y ) GZ I E x l F x F y . . 48 ². . . 3 . . 4 3+ − = y est maxi pour x = l/2 (symétrie de la déformée) GZ GZ GZ GZ I E l F I E l l F I E l l F I E l l F l F y . . 48 ) 2 2 ( . . 48 ) 2 3 2 ( . . 48 ) 2 3 8 4 ( . . 48 2 ². . . 3 8 . . 4 3 3 3 3 3 3 uploads/Voyage/ flexion-simple 2 .pdf