TD 08 Systèmes Mécaniques Lycée Bellevue Toulouse CPGE MP Florestan MATHURI
TD 08 Systèmes Mécaniques Lycée Bellevue Toulouse CPGE MP Florestan MATHURIN Page 1 sur 4 Centrifugeuse humaine On s’intéresse à une centrifugeuse humaine dont on donne une description structurelle ainsi que la modélisation cinématique. Le système étudié est constitué de 4 éléments principaux : un massifbâti en béton 0 sur lequel est rigidement ancré un axe assurant le guidage en rotation du sous ensemble 1 autour d’un axe vertical, un sous ensemble 1 en rotation autour de l’axe vertical qui est composé d’un contrepoids c, d’une virole v et d’un bras en treillis tubulaire b, un anneau 2, interposé entre la nacelle et le bras, autorisant les rotations autour des 2 axes orthogonaux (roulis et tangage), une nacelle instrumentée 3 équipée du siège pour le pilote. Aux 4 éléments précédents s’ajoutent des équipements complémentaires comme : Massif bâti 0 Sous ensemble 1 Anneau 2 Nacelle 3 un générateur de puissance hydraulique, un réducteur pouvant transmettre une puissance de l’ordre de 1MW pour le mouvement de rotation du sous ensemble 1 par rapport à 0, une motorisation embarquée pour les mouvements de rotation de roulis et de tangage, un système d’asservissement pour chaque actionneur. Cette conception permet de lier de façon univoque, les profils de position (ou de vitesse relative) engendrés au niveau de chaque liaison à l’évolution temporelle des 3 composantes d’accélération que subit le pilote. Ainsi les consignes de position ou de vitesse à appliquer aux liaisons sont directement déduites de l’accélération à reproduire. La vitesse de rotation du bras détermine l’intensité de l’accélération imposée au pilote et l’orientation de la nacelle en roulis et tangage fixe la direction de l’accélération imposée au pilote. 0 x 1 0 z , z 0 y 1 x 1 y 2 1 x , x 3 x 3 2 y , y Modélisation cinématique et paramétrage : Sur le modèle on considère que : TD 08 Systèmes Mécaniques Lycée Bellevue Toulouse CPGE MP Florestan MATHURIN Page 2 sur 4 le repère 0 0 0 o z , y , x , O R est lié au bâti 0, ce repère sera considéré comme galiléen. Le champ de la pesanteur est définit par 0 z g g , le repère 0 1 1 1 z , y , x , O R est lié au sous ensemble 1 (composée du contrepoids c, de la virole v et du bras en treillis tubulaire b). La liaison 1/0 est considérée comme une liaison pivot parfaite d’axe 0 z , O , sa position est paramétrée par l’angle ψ(t) 1 0 x , x , le repère 2 2 2 2 z , y , x , I R est lié à l’anneau 2. La liaison 2/1 est considérée comme une liaison pivot parfaite d’axe 1 x , I , sa position est paramétrée par l’angle θ(t) 2 1 y , y , θ est appelé angle de roulis, le repère 3 2 3 3 z , y , x , I R est lié à la nacelle 3 dans laquelle prend place le pilote. La liaison 3/2 est considérée comme une liaison pivot parfaite d’axe 2 y , I sa position est paramétrée par l’angle φ(t) 3 2 x , x Données massiques : Sous ensemble (1) : Masse 1 m , centre de gravité 1 G tel que 1 1 y a OG Matrice d’inertie ) z , y , x , G ( C D E D B F E F A ) 1 ( I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G 1 Le plan 1 1 z , y , O est un plan de symétrie pour le sous ensemble 1. Anneau (2) : Masse 2 m , centre de gravité I tel que 1 y R OI Matrice d’inertie ) z , y , x , I ( C D E D B F E F A ) 2 ( I 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 I Les plans 2 2 y , x , I et 2 2 z , y , I sont des plans de symétrie pour le solide 2. Nacelle et pilote (3) : Masse 3 m , le centre de gravité reste confondu avec le point I Matrice d’inertie ) z , y , x , I ( C 0 0 0 B 0 0 0 A ) z , y , x , I ( C 0 0 0 B 0 0 0 A ) 3 ( I 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 I Q.1. En tenant compte des données du problème, définir la forme simplifiée de la matrice d’inertie du sous ensemble 1 en G1 dans la base 1. Q.2. Déterminer le torseur cinétique de 1/0 au point O du sous ensemble 1 dans son mouvement par rapport à 0. Q.3. En tenant compte des données du problème, définir la forme simplifiée de la matrice d’inertie de l’anneau 2 en I dans la base 2. Q.4. Déterminer le torseur cinétique de 2/0 au point I du solide 2 dans son mouvement par rapport à 0. Q.5. Déterminer le torseur cinétique de 3/0 au point I du solide 3 dans son mouvement par rapport à 0. Q.6. En déduire le torseur cinétique de l’ensemble E1=2+3 au point I dans son mouvement par rapport à 0. Q.7. Déterminer le torseur dynamique de 1/0 au point O du sous ensemble 1 dans son mouvement par rapport au repère 0. TD 08 Systèmes Mécaniques Lycée Bellevue Toulouse CPGE MP Florestan MATHURIN Page 3 sur 4 Q.8. Proposer sous forme d’organigramme les différentes étapes de calcul afin de déterminer le moment dynamique au point O 0 / E , O 2 de l’ensemble E2=1+2+3 dans son mouvement par rapport à 0. Virage à plat d’un avion à hélice On s’intéresse à un avion léger à hélice dont on donne une description structurelle ainsi qu’une modèle cinématique en phase de vie de virage à plat. Dans cette phase de vie, on suppose que l’avion est en régime moteur constant en vol horizontal d’abord rectiligne puis amorçant un virage à plat (action simplement sur le palonnier). Modélisation cinématique : Modèle G1 2 1 x x 1 y 1 0 z z G2 H O 0 x 2 y 1 y 1 x 0 y θ φ L’avion 1 auquel est associé le repère 1 1 1 1 1 z , y , x , G R est en vol horizontal par rapport à un référentiel galiléen lié au sol (repère 0 0 0 0 z , y , x , O R ).A l’instant initial de l’étude, le pilote amorce un virage à plat et l’avion tourne autour de l’axe (G1, 1 z ) d’un angle θ = ( 1 0 x , x ). La partie rotorique 2 de l’avion, de masse m, est constituée de l’hélice et de l’arbre porte hélice, en liaison pivot d’axe (H, 1 x ) par rapport à l’avion 1 de paramètre φ= ( 2 1 y , y ). L’ensemble 2 à pour centre de gravité G2. On donne ) z , y , x ( C 0 0 0 B 0 0 0 A ) 2 ( I 2 2 2 2 2 2 G 2 . Q.1. Déterminer le moment cinétique de 2/0 au point G2 du sous ensemble 2 dans son mouvement par rapport au repère 0 R . Q.2. Déterminer le moment dynamique de 2/0 au point G2 du sous ensemble 2 dans son mouvement par rapport au repère 0 R . Q.3. On a φ = Ω.t avec Ω = cte >0 et θ = ω.t avec ω = cte >0. Montrer que dans le cas où B2 = C2 (cas d’une hélice tripale), le moment dynamique se réduit à 1 2 0 / 2 , G y . . . A 2 . Q.4. Appliquer le théorème uploads/Voyage/ td-08.pdf
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- Publié le Jan 20, 2021
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