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Phénomènes de Transport Avancé M1 Ingénierie et Gestion de L’eau FAIROUZ BELAID

Phénomènes de Transport Avancé M1 Ingénierie et Gestion de L’eau FAIROUZ BELAID 4 CHAPITRE III CONSERVATION DEQUANTITÉ DE MOUVEMENT 1.1 Notion de force en mécanique Une force est associée à l'échange de quantité de mouvement entre deux systèmes. Si ces deux systèmes sont isolés de l'extérieur, la somme de leurs quantités de mouvement reste constante au cours du temps, quelle que soit leur interaction mutuelle. Par exemple deux boules de billard qui se choquent échangent de la quantité de mouvement lors du choc, mais la somme des deux reste constante. C'est en ce sens qu'il faut comprendre l'expression \conservation de la quantité de mouvement" : on peut dire que le fluide subit (ou exerce) une force extérieure, mais aussi qu'il échange de la quantité de mouvement avec l'extérieur, de telle sorte que la somme des quantités de mouvement fluide + extérieur reste constante. Il est important de retenir cette notion pour bien comprendre la physique sous-jacente aux équations qui vont suivre. Important Une force subie par le fluide correspond à un accroissement de sa quantité de mouvement. Une force exercée par le fluide correspond à une diminution de sa quantité de mouvement. 1.2 Équation générale Le principe dynamique stipule que la quantité de mouvement se conserve. Par conséquent un fluide de masse volumique ߩet de volume ( ܸ) fixe dans l'espace peut accumuler de la quantité de mouvement ou en échanger avec l'extérieur sous l’effet des forces exercées sur ce fluide. L'équation de bilan de quantité de mouvement (QM) d'un fluide s’écrit sous la forme intégrale : ܸousoݐs݋݊݀݁ܳܯ݀o݊⺁ܸ൅݁݉ݑݑݑܥ݀݁ܳܯ݀o݊⺁ܵൌ ܨ݁樰ݐ ෍ ܳܯൌ ߩݒܸ݀ ම Le bilan global donne : ߲ ߲ݐ ߩݒܸ݀ ම ൅ ߩݒݒή ݊݀ܵൌ ඵ ܨ݁樰ݐ ෍ Cette équation est exprimée en Newton et n’est d’autre que l’application du principe fondamental de la dynamique sur un volume de fluide en mouvement (qui se déplace dans l’espace). 1.3 Forces extérieures Il est d'usage de distinguer deux types de forces dans les milieux continus :  Les forces volumiques qui s'exercent sur chaque particule fluide interne au volume (V). Phénomènes de Transport Avancé M1 Ingénierie et Gestion de L’eau FAIROUZ BELAID 5  Les forces surfaciques ou de contact qui s'exercent sur la frontière (S) du volume (V). 1.3.1 Forces de volume Pour un fluide, en voici une liste possible :  Le poids.  Les pseudo-forces d'inertie d'entrainement et de Coriolis en référentiel non-galiléen (importantes pour les mouvements de l'atmosphère par exemple).  Les forces électriques et magnétiques pour les fluides chargés (suspensions de particules magnétiques, magma). Nous nous limiterons ici au poids. Exprimons le poids du volume de fluide (ܸ) : chaque volume élémentaire ܸ݀a pour poids ߩܸ݃݀de telle sorte que le poids du volume (ܸ) s'exprime par : ܲ ሬԦ ൌ ߩ݃ ሬԦܸ݀ ම 1.3.2 Forces de surface On distingue les forces normales ou force de pression et les forces tangentielles ou de frottement : 1.3.2.1 Force normale La force moyenne qu'exerce le fluide sur la paroi, obtenue en comptant tous les chocs de molécules par unité de temps : est donc également normale à la paroi et dirigée vers son intérieur. Cette force est une force de pression. On définit la force de pression sur un élément de surface ݀ܵpar : ܨ ሬԦ݌ൌ െ݌݊ ሬԦ݀ܵ ඵ 1.3.2.2 Force tangentielle La force tangentielle est aussi connue sous le nom de force de frottement. ܨ ሬԦ߬ൌ ߬ ሬ Ԧ݀ܵ ඵ Ainsi les forces de surface peuvent être exprimées sous cette forme : ܨ ሬԦ⺁ൌ ߬ ሬ Ԧ െ݌݊ ሬԦ ඵ ݀ܵ 1.3.2.3 Viscosité Lorsque le fluide est en mouvement, on constate expérimentalement qu'il apparait également une force tangentielle, en plus des forces de pression. L'expérience la plus simple permettant de le constater est l'écoulement de Couette : un canal contenant du fluide initialement immobile est équipé d'une paroi supérieure mobile. Lorsque l'on anime cette dernière d'un mouvement horizontal uniforme à la vitesse ܷͲ on constate que :  Le fluide est entrainé par la plaque, avec une vitesse horizontale Phénomènes de Transport Avancé M1 Ingénierie et Gestion de L’eau FAIROUZ BELAID 6  La plaque subit une force tangentielle F opposée au mouvement. Au bout d'un temps suffisamment long, la vitesse du fluide devient constante au cours du temps (on est en régime permanent) et on constate qu'elle varie linéairement de 0 à ܷͲ dans l'épaisseur du fluide. On peut conclure de cette expérience que :  La plaque adhère au fluide puisqu'elle l'entraine dans son mouvement.  Les couches horizontales de fluide frottent l'une sur l'autre puisque le mouvement se transmet de la plaque vers les couches plus basses. Cela signifie que chaque ligne horizontale subit une force tangentielle de la part de ses voisines. Cette force tangentielle est appelée cisaillement ܨ ሬԦ߬.  Le taux de cisaillement (߬ሶሻest la déformation angulaire ߠsubit par le gradient de vitesse ݀ݑ݀ݖau cours du temps. Par conséquent : ݀ߠ ݀ݐൌ ݀ݑ ݀ݖce taux de cisaillement (߬ሶሻest proportionnel au contrainte de cisaillement ߬ ce qui implique : ߬ן ݀ߠ ݀ݐ֜ ߬ൌɄ ݀ݑ ݀ݖ D’où : ߬ൌɄ߬ሶ Le coefficient de proportionnalité Ʉ exprime la viscosité. Quand le coefficient Ʉ ൌߤest constant on dit que le fluide est Newtonien et ߤreprésente la viscosité dynamique du fluide. ߬est la contrainte de cisaillement. Les contraintes viennent en tenseur et possèdent neuf (9) composantes. Dans l’expérience de couette, la contrainte définie est la composante ߬樰ݖ(樰exprime la direction de la vitesse et ݖest la normale de la surface tangentielle à la vitesse) ߬ൌ ߬樰樰 ߬樰t ߬樰ݖ ߬t樰 ߬tt ߬tݖ ߬ݖ樰 ߬ݖt ߬ݖݖ En fonction des gradients de vitesse on obtient pour un fluide Newtonien : ߬ൌߤ ݀ݑ ݀樰 ݀ݑ ݀t ݀ݑ ݀ݖ ݀ݒ ݀樰 ݀ݒ ݀t ݀ݒ ݀ݖ ݀t ݀樰 ݀t ݀t ݀t ݀ݖ Le bilan global de la conservation de quantité de mouvement peut être écrit sous la forme intégrale : ߲ ߲ݐ ߩݒ ሬԦܸ݀ ම ൅ ߩݒ ሬԦ ݒ ሬԦ ή ݊ ሬԦ ݀ܵൌ ඵ ߩ݃ ሬԦܸ݀ ම ൅ ߬ ሬ Ԧ െ݌݊ ሬԦ ඵ ݀ܵ 1.3.3 Applications Les applications se traduiront par l’établissement de l’équation de Navier-Stockes. 1.4 Équation de Navier-Stockes Ces équations peuvent être résolues analytiquement dans plusieurs configurations classiques où l'écoulement s'effectue dans une direction privilégiée, notamment l'écoulement de Couette, mentionne précédemment, et celui de Poiseuille, le long d'un tube. Les écoulements Phénomènes de Transport Avancé M1 Ingénierie et Gestion de L’eau FAIROUZ BELAID 7 unidirectionnels ont quelques propriétés générales intéressantes. Les équations du mouvement prennent la forme des équations dites de Navier-Stokes sous les hypothèses suivantes : 1.4.1 Écoulement incompressible Comme on peut dire fluide incompressible, on dit le fluide est en écoulement incompressible si sa masse volumique est constante au cours du mouvement, ce qui se traduit par une dérivée particulaire du champ scalaire de masse volumique nulle (description eulérienne). Si l'on note ߩൌߩሺܯǡݐሻla masse volumique en un point M à un instant t et si l'on considère l'écoulement incompressible alors : ܦߩ ܦݐൌͲ (ܦȀܦݐ) est la dérivée particulaire. On peut caractériser un tel écoulement par la relation suivante : div ݒ ሬԦ ൌͲ où ݒ ሬԦ ൌݒ ሬԦሺܯǡݐሻest la vitesse d'une particule fluide en un point M à un instant t. En effet, l'équation de continuité (qui traduit la conservation de la masse) ߲ߩ ߲ݐ൅divሺߩή ݒ ሬԦሻൌͲ et d'après les formules d'analyse vectorielle (divergence du produit d'un champ scalaire et d'un champ vectoriel) : ߲ߩ ߲ݐ൅ݒ ሬԦgrad ߩ൅ߩdivሺݒ ሬԦሻൌͲ On reconnaît la dérivée particulaire de ߩ: ܦߩ ܦݐൌ߲ߩ ߲ݐ൅ݒ ሬԦgrad ߩ 1.4.2 Fluide Newtonien L'expérience de Couette nous montre que la force visqueuse nait de l'existence de couches de fluide voisines se déplaçant à des vitesses différentes. L'expression est une dérivée spatiale d'une composante de la vitesse. Voyons combien de dérivées spatiales de la vitesse nous pouvons définir dans le cas général : il y a trois composantes ݑǡݒǡt que nous pouvons chacune dériver par rapport aux trois variables d'espace 樰ǡtǡݖ, ce qui fait 9 dérivées. On les regroupe dans le tenseur gradient de vitesses, qui s'écrit, en coordonnées cartésiennes : gradݒ ሬԦ ൌ ߲ݑ ߲樰 ߲ݑ ߲t ߲ݑ ߲ݖ ߲ݒ ߲樰 ߲ݒ ߲t ߲ݒ ߲ݖ ߲t ߲樰 ߲t ߲t ߲t ߲ݖ Rappelons que l'expérimentation montre l'apparition d'un profil de vitesse linéaire au bout d'un certain temps, et que la force qu'il faut exercer sur la plaque pour la déplacer à une vitesse constante U est proportionnelle à la variation de la vitesse dans la hauteur du fluide : Phénomènes de Transport Avancé M1 Ingénierie et Gestion de L’eau FAIROUZ BELAID 8 ܨ ܵൌെɄ ݀ݑ ݀ݖ Puisque la plaque bouge à vitesse constante, cette force est donc opposée à celle qu'exerce le fluide sur la plaque. Exécutons maintenant le bilan des forces sur une tranche de fluide comprise entre la plaque supérieure et une ordonnée z quelconque. On voit que : - Suivant ݖ, il n'y a pas de mouvement, les seules forces sont les forces de pression, nous allons retrouver la loi de l'hydrostatique, comme si le fluide était immobile. ߪ݊ൌ݌ݖ ሬ Ԧ - L’accélération du fluide étant nulle, la force tangentielle exercée par la plaque sur la tranche uploads/Voyage/ chapitre-iii.pdf