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Probleme 3 ECRI COME COME Banque d ? ?epreuves communes aux concours des Ecoles esc bordeaux esc marseille icn nancy esc reims esc rouen esc toulouse CONCOURS D ? ADMISSION option ?economique et technologique MATHE ? MATIQUES Ann ?ee Aucun instrument de c

ECRI COME COME Banque d ? ?epreuves communes aux concours des Ecoles esc bordeaux esc marseille icn nancy esc reims esc rouen esc toulouse CONCOURS D ? ADMISSION option ?economique et technologique MATHE ? MATIQUES Ann ?ee Aucun instrument de calcul n ? est autoris ?e Aucun document n ? est autoris ?e L ? ?enonc ?e comporte pages Les candidats sont invit ?es a soigner la pr ?esentation de leur copie a mettre en ?evidence les principaux r ?esultats a respecter les notations de l ? ?enonc ?e et a donner des d ?emonstrations completes mais breves de leurs a ?rmations Exercice I Pour n ?? N on pose ? In xn sin xdx et a Justi ?er l ? existence de In et Jn b Pour n ?? N ?etablir les relations In n Jn ?? ? n ? Jn xn cos x et Jn ?? n Jn c Pour n ?? calculer In et Jn On consid ere f R ? R d ?e ?nie par f x x ? ?? cos x si x ?? ? si x ?? ? Montrer que f est la densit ?e d ? une variable al ?eatoire r ?eelle X a D ?eterminer la fonction de r ?epartition F de X b Montrer que F est d ?erivable sur R Pr ?eciser les valeurs de F et F ? c Donner le tableau de variation de F sur R Calculer l ? esp ?erance math ?ematique E X et l ? ?ecart-type ? X de la variable al ?eatoire X Donner une valeur approch ?ee a ?? pres de E X et de ? X C Calculer les probabilit ?es suivantes ? a P X ? ? b P X ou X ? c P X ?? ? ? ? d P X X ? ? Probabilit ?e conditionnelle de l ? ?ev enement X sachant X EXERCICE II Pour x ?? R on pose f x x x ?? a Etudier les variations de f sur R b Montrer que l ? ?equation x x ?? admet une unique solution dans R c Etablir que ? ?? ? ?? Le plan ?etant rapport ?e a un repere orthonormal O i j on note C la courbe repr ?esentative de f dans ce rep ere ? ?? M est le point de C d ? abscisse La tangente a C au point M coupe l ? axe O i en un point d ? abscisse x Soit M le point de C d ? abscisse x En trac ant la tangente a C au point M on d ?etermine de fa con analogue le point M On construit ainsi par r ?ecurrence une suite Mn de points de C On d ?esigne en ?n par xn l ? abscisse du point Mn Etablir que ??n ?? N xn x n xn a Pour x ?? R on pose g x x ?? x ?? ou est le nombre d ?e