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TRAVAIL DE VACANCES HEC 2ème ANNEE 2014-2015 Page 1 TRAVAIL DE VACANCES ANNEE SCOLAIRE 2014-2015 CLASSE DE : HEC CARRES & CUBE HEC ECS et HEC ECE 2ème année & Cube SALIEGE LYCEE PRIVE POST-BACCALAUREAT 3 Rue Bernanos – BP 33130 – 31131 BALMA CEDEX TRAVAIL DE VACANCES HEC 2ème ANNEE 2014-2015 Page 2 MATHEMATIQUES : ECS 2 Voici une série de 2 problèmes à faire pendant l’été à rendre pour les premiers et deuxième samedi de la rentrée. En cas de problème, je serai joignable par mail (fmarty@saliege.fr). Les Cubes sont invités à réaliser le ou les sujets d'annales de leur choix en lieu et place du travail des carrés. TRAVAIL DE VACANCES HEC 2ème ANNEE 2014-2015 Page 3 TRAVAIL DE VACANCES HEC 2ème ANNEE 2014-2015 Page 4 TRAVAIL DE VACANCES HEC 2ème ANNEE 2014-2015 Page 5 TRAVAIL DE VACANCES HEC 2ème ANNEE 2014-2015 Page 6 MATHEMATIQUES : ECE 2 Voici une série de 4 problèmes à faire pendant l’été et à m’adresser avant le 23/08/2012 à l’adresse suivante : J.L Liautard 35 rue Pradal, 31400 Toulouse. Si vous rencontrez des difficultés Tel : 05 61 34 24 85 Quelques conseils avant de commencer : 1) Prendre connaissance des thèmes abordés dans le problème. 2) Revoir cours, t.p, exercices et autres devoirs portant sur ces thèmes. 3) Essayer de traiter le problème dans le temps indiqué. Pour les révisons sachez que toutes les parties du programme traité cette année seront utiles en deuxième année mais que certaines ont une importance plus grande telles : suites et séries, variables aléatoires, applications linéaires. « BONNES VACANCES » ******************************************************************************* PROBLEME 1 : Durée 4 h Thèmes abordés : fonctions, variables aléatoires, couples, séries, matrices, suites récurrentes. EXERCICE 1 Soient f la fonction numérique de la variable réelle définie par :  x  R, 2 x 1 1 ) x ( f   , et (un) la suite de nombres réels déterminée par : 1 0 0 1 n 0 ( ) , u ( ) n u f x dx n x f x dx          1.1 Etude de f. 1°) Montrer que la fonction f est paire sur R. 2°) Etudier les variations de f sur l’intervalle [0,+[. 3°) Déterminer la limite de f lorsque x tend vers +. 4°) Montrer que f est bornée sur R. 5°) Donner l’allure de Cf. 6°) Montrer que f réalise une bijection de l’intervalle [0,+[ sur un intervalle J à préciser. 7°) Pour tout y de l’intervalle ]0, 1] , déterminer l’unique réel x appartenant à l’intervalle [0,+[ tel que : f (x) = y TRAVAIL DE VACANCES HEC 2ème ANNEE 2014-2015 Page 7 8°) Déterminer alors la bijection réciproque f -1. 1.2 Calcul d’aire. Soit la fonction numérique F de la variable réelle x définie par F (x) =   1 x x ln 2   . Pour tout réel  strictement positif, on note A() l’aire (exprimée en unité d’aire) du domaine constitué par l’ensemble des points M (x, y) tels que :  x  2 et 0  y  f(x). Ainsi A( =    2 dx ) x ( f 1°) Montrer que :  x  , x + 0 1 x 2   . En déduire l’ensemble de définition de F. 2°) Montrer que F est une primitive de f sur R. 3°) Montrer que F est impaire sur son ensemble de définition. 4°) Déterminer la limite de F lorsque x tend vers +. En déduire la limite de F quand x tend vers -. 5°) Exprimer A() en fonction de  et calculer la limite de A() lorsque  tend vers +. 1.3 Etude de la suite (un). 1°) Calculer u0 et u1. 2°) Effectuer une intégration par parties et calculer u3. (On pourra remarquer que 2 2 2 3 x 1 x x x 1 x    ) 3°) Déterminer le sens de variations de la suite (un). 4°) Montrer que la suite (un) est convergente. (On ne cherchera pas sa limite dans cette question) 5°) Justifier l’encadrement suivant :  x [0, 1],  n  N, n 2 n x x 1 x 0    . En déduire que :  n  N*, 1 n 1 u 0 n    6°) Déterminer alors la limite de la suite (un). EXERCICE 2 Dans cet exercice, on étudie l’exponentielle d’une matrice pour une matrice carrée d’ordre 3, puis d’ordre 2. 2.1 Exponentielle d’une matrice carrée d’ordre 3. Soient A et P les matrice définies par :                             1 1 1 1 2 1 1 1 2 P , 2 0 2 1 1 1 1 1 1 A . 1°) Montrer que la matrice P est inversible et déterminer P–1. 2°) On pose T = P AP–1. a) Calculer la matrice T. b) Calculer T2, T3, puis Tn pour tout entier naturel n  3. 3°) En déduire que :  n  3, An = 0, où 0 désigne la matrice nulle d’ordre 3. 4°) Pour tout réel t, on définit la matrice E(t) par : E(t) = I + tA + 2 2 A 2 t , où I désigne la matrice unité d’ordre 3. a) Montrer que :  (t, t’)  R2, E(t) E(t’) = E(t + t’). b) Pour tout t réel, calculer E(t) E(–t) . En déduire que la matrice E(t) est inversible et déterminer son inverse en fonction de I, A, A2, t. c) Pour tout t réel et tout entier naturel n, déterminer [E(t)]n en fonction de I, A, A2, t et n. TRAVAIL DE VACANCES HEC 2ème ANNEE 2014-2015 Page 8 2.2 Exponentielle d’une matrice carrée d’ordre 2. Soient B et D les matrices définies par :                    2 0 0 1 D , 3 2 1 0 B . Pour tout entier naturel n non nul, et pour tout réel t, on définit la matrice En(t) par : En(t) =   n 0 k k k B ! k t que l’on note En (t) =         ) t ( d ) t ( b ) t ( c ) t ( a n n n n . 1°) Montrer que si Q désigne la matrice            2 1 1 1 Q alors Q est inversible et que la matrice Q–1BQ 0= D est diagonale. 2°) Pour tout entier naturel n, montrer que par récurrence sur n :                1 2 2 2 2 1 2 2 B 1 n 1 n n n n . 3°) Montrer que :  n  N, an(t) =    n 0 k k k ! k ) t 2 ( t 2 . Exprimer de même bn( t), cn(t), dn(t) sous le forme d’une somme. 4°) Déterminer les limites de an(t), bn(t), cn(t), dn(t) lorsque n tend vers +. 5°) Pour tout t réel, on pose alors : E(t) =                 ) t ( d lim ) t ( b lim ) t ( c lim ) t ( a lim n n n n n n n n . a) Montrer que E(t) =             t t 2 t t 2 t 2 t t 2 t e e 2 e 2 e 2 e e e e 2 . b) Déterminer les matrice E1 et E2, telles que pour tout t réel on ait : E (t) = et E1+ e2t E2. c) Calculer E12, E22, E1 E2, E2 E1. d) En déduire que pour tout t réel, E(t) est inversible et déterminer son inverse. EXERCICE 3 Une personne envoie chaque jour un courrier électronique par l’intermédiaire de deux serveurs : le serveur A ou le serveur B. On constate que le serveur A est choisi dans 70% des cas et donc que le serveur B est choisi dans 30% des cas. (Ce qui revient à dire que la probabilité pour que le serveur A soit choisi est de 0,7). Les choix des serveurs sont supposés indépendants les uns des autres. 1°) Dans cette question, on suppose que la probabilité d’une erreur de transmission avec le serveur A est de 0,1, alors qu’avec le serveur B elle est de 0,05. a) Probabilité pour qu’il y ait une erreur de transmission lors de l’envoi d’un courrier. b) Si le uploads/Voyage/ travail-ete-hec-carres-2014.pdf