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S1 td 1 limites derivees mathématiques - S TD limites dérivées fonctions usuelles - corrigé département Mesures Physiques - IUT - Grenoble exercices théoriques Manipulation d ? expressions a simpli ?er ex ?? ex e ??x ?? e ??x b simpli ?er ex e x ex ?? c d

mathématiques - S TD limites dérivées fonctions usuelles - corrigé département Mesures Physiques - IUT - Grenoble exercices théoriques Manipulation d ? expressions a simpli ?er ex ?? ex e ??x ?? e ??x b simpli ?er ex e x ex ?? c développer ex e ??x d résoudre ex ?? e ??x ?? e résoudre ln x ?? ln x f si f x ?? x déterminer x f f corrigé succinct a l ? expression vaut en e ?et le second terme de la somme e ??x ?? e ??x ex ex e ??x e ??x ?? ?? ex ex est l ? opposé du premier terme b ex e x ex ?? ex e x ?? ex ex ex ex e ??x c On développe par la formule du binôme ex ex e ??x ex e ??x ex e ??x e ??x et on obtient e x e x e ?? x e ?? x d Quand une équation fait appara? tre uniquement des exponentielles de l ? inconnue on peut sou- vent se ramener à une équation polynômiale en posant ex X Ainsi l ? équation devient ici X ?? X ?? avec X dont le discriminant est car X ex et les solutions ?? E ??ll e es t do ??n c éq ??ui v aLle ? unnteiqàuXe s o lu tiXon ??X ?? ?? est donc X ?? qui correspond à x ln ?? e L ? équation est dé ?nie pour x On peut donc pour x transformer l ? équation en les équations équivalentes ln x ?? x ?? x ?? soit ?nalement x ou x dont les trois solutions sont ?? ?? x x et x ?? f On trouve f f x ?? x x Déterminer les limites des expressions suivantes a limx ? ? e ??x cos x sin x b limx ? x x c limx ? x sin x d limx ? ? x exp ??x e limx ? x exp x f limx ? ? x exp x corrigé succinct On peut majorer f x par e ??x qui tend vers en ? donc f tend vers Déterminer les dérivées des fonctions suivantes a a x ?? x ?? b b t A cos ?t A et constantes c c x ?? x x ?? d d x ln x x ?? corrigé succinct a ?? x ?? ? ? x ?? ?? ?? x ?? surtout ne pas développer l ? expression pour la dériver b ?? t ??A ? sin ?t On peut dériver c en exprimant c x comme le produit x x ?? c ?? x x ?? x ?? x ?? ? x Pour simpli ?er l ? expression on factorise le x qui intervient avec le plus bas degré ainsi c ?? x x ?? x ?? x x ?? ?? ?? la dérivée ??de d x ln x x ?? est x ?? x ?? ??x ?? ??x ??