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Sma cours ANALYSE COMPLEXE SMA - A Lesfari Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Choua? b Doukkali B P El- Jadida Maroc E mail lesfariahmed yahoo fr Site Web http lesfari com CLe programme porte sur les notions suivantes fonctions h

ANALYSE COMPLEXE SMA - A Lesfari Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Choua? b Doukkali B P El- Jadida Maroc E mail lesfariahmed yahoo fr Site Web http lesfari com CLe programme porte sur les notions suivantes fonctions holomorphes équation de Cauchy-Riemann fonctions holomorphes élémentaires théorème de Cauchy formule intégrale de Cauchy équivalence entre holomorphie et analyticité zéros de fonctions holomorphes espace des fonctions holomorphes théorème d'inversion locale théorème de l'application ouverte principe du maximum lemme de Schwarz automorphismes séries de Laurent points singuliers fonction méromorphes théorème des résidus et application au calcul intégral théorème de Rouché fonctions harmoniques égalité de la moyenne noyau de Poisson Si le temps le permet d'autres notions complémentaires seront données CTable des matières Fonctions holomorphes fonctions analytiques Préliminaires B Fonctions di érentiables fonctions holomorphes équation de Cauchy-Riemann intégration des fonctions holomorphes Théorème de Cauchy formule intégrale de Cauchy théorème de Moréra équivalence entre holomorphie et analyticité Exercices Propriétés des fonctions holomorphes et harmoniques Inégalités de Cauchy théorèmes de Liouville et de d'Alembert Principe du prolongement analytique et principe des zéros isolés Propriété de la moyenne principe du maximum lemme de Schwarz Fonctions harmoniques formule et noyau de Poisson problème de Dirichlet pour le disque Théorème d'inversion locale transformations conformes appli- cations géométriques théorème de l'application ouverte auto- morphismes Aut C Aut P C Aut D Aut H Exercices Fonctions méromorphes Séries de Laurent points singuliers théorème de Casorati-Weierstrass théorèmes de Picard Fonctions méromorphes théorème des résidus Nombre de pôles et zéros d'une fonction méromorphe principe de l'argument théorème de Rouché Applications du théorème des résidus au calcul d'intégrales et la somme de certaines séries Exercices C Suites et produits in nis compléments Suites de fonctions holomorphes séries de fonctions holomorphes théorème de Weierstrass CA Lesfari SMA -Analyse complexe Espace des fonctions holomorphes théorème de Montel et ses conséquences Séries de fonctions F C méromorphes théorème de Mittag-Le er Produits in nis de C fonctions holomorphes Fonctions dé nies par une intégrale fonctions gamma et bêta d'Euler transformée de Laplace Exercices CChapitre Fonctions holomorphes fonctions analytiques Préliminaires Soient un ouvert de C R et f ?? ? C z ?? ? f z w une fonction complexe d'une variable complexe z C x iy x y ?? R Dé nition On dit que la fonction f est uniforme si à chaque valeur de z ne correspond qu'une seule valeur de w Sinon elle est dite multiforme Exemples de fonctions uniformes a La fonction linéaire w az b a b ?? C b La fonction exponentielle C w ez Par dé nition on a ez ex cos y i sin y Lorsque z est réel c'est-à-dire z x nous retrouvons la fonction exponentielle ez ex La fonction ez est périodique de période ?i En outre on a ez ez ez z En écrivant z r cos i sin rei o? r z et arg z on obtient la formule de Moivre zn rnein CA Lesfari SMA -Analyse complexe et les formules d'Euler eiy e ??iy