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Terminal l2 Faculté des sciences et ingénierie Toulouse III Département de mathématiques ?? L Maths U E Méthodes Numériques Année universitaire - Examen Terminal Méthodes Numériques Durée heures - Calculatrices et portables interdits La clarté et la préci

Faculté des sciences et ingénierie Toulouse III Département de mathématiques ?? L Maths U E Méthodes Numériques Année universitaire - Examen Terminal Méthodes Numériques Durée heures - Calculatrices et portables interdits La clarté et la précision de l ? orthographe et de la rédaction entreront pour une part importante dans la notation Exercice Questions de cours et d ? application directe points Compléter le tableau de di ?érences divisées suivant et donner le polynôme d ? interpolation de Lagrange correspondant dans les bases de Newton et de Lagrange xi f xi ?? ?? ?? c b ?? a ?? d e fg Donner la méthode d ? intégration numérique de Simpson sur l ? intervalle a b ainsi que son degré d ? exactitude aussi appelé son ordre Exercice Interpolation de Lagrange points Construire pour et ? deux réels donnés le polynôme d ? interpolation de Lagrange associé aux noeuds ?? ? et Quel est le degré de P dans le cas o? ? Montrer que P est pair Peut-il être de degré Exercice Interpolation de Lagrange points Soit ?? et f de classe C sur Calculer le polynôme d ? interpolation P de Lagrange de f associé aux noeuds et Donner à l ? aide d ? un résultat du cours une estimation de l ? erreur d ? approximation f x ?? P x pour x ?? En écrivant P sous sa forme développée montrer que pour tout x ?? ?xé lim ? P x f xf f ?? f ?? f x noté Q x C a Montrer que si R est un polynôme de degré inférieur ou égal à tel que R R R alors R est le polynôme nul b En déduire que Q est l ? unique polynôme de degré inférieur ou égal à tel que Q P Q P et Q P Pour l ? unicité on pourra montrer que si deux tels polynômes existent En remarquant que pour tout x ?? Q x ?? f x Q x ?? P x P x ?? f x montrer que pour tout x ?? Q x ?? f x sup f t sup f t sup f t t ?? t ?? t ?? Exercice Calcul approché d ? intégrales points On dé ?nit la fonction h x ??x pour x ?? Calculer H x x h t dt o? x et donner la valeur de H Calculer les coe ?cients c c et c pour que la méthode d ? intégration numérique sui- vante soit exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à J f c f c f c f En utilisant la méthode numérique précédente calculer une valeur approchée de ln Exercice Calcul approché d ? intégrales points Soit g ?? C ? R R On ?xe ? ?? et on considère la méthode d ? intégration numérique sur ?? donnée par ? g x dx g ?? g ? ?? Montrer que la méthode numérique est exacte pour