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Bac 2000 serie c amp e mathematique gabon

REPUBLIQUE GABONAISE OFFICE NATIONAL DU BACCALAUREAT - - MATHEMATIQUES Série 'C E Durée heures Coef https epreuvesetcorriges com EXERCICE nO points Dans le plan mnni d' ill repère orthonormal direct i j on considère l'ensemble H J des points de coordonnées x y véri ?ant la relation - x y xy Soit 'application qui au point M x y associe le point M' x' y' tel que x' x lJ y' -x y Onp se 'z x iyet z' x' iy' Exprimer z' en fonction de z En déduire la nature et les éléments caractéristiqu s de f a Détermirier une équation caJ'tésienne de H' image de H par f b Démontrer que H' est une hyperbole dont on précisera les sommets les foyers et l'excentricité c Construire' H' puis en déduire la nature et une construction de H r Soit C la courbe de représentati paramétrique IX t cost y t tan t tE - t ' et M t le point de C de coordonnées x t y t a Démontrer en comparant M - t et M t que la courbe C admet un he de symétrie b Etudier les variatio des fonctions x et y sur c Montrer que C est un partie de H' d Construire C sur le même graphique EXERCICE nO points Dans le plan orienté on considère le losange OABC tel que OA OC t et OA a o? a est un réel strictement positif Le cercle r de centre et de rayon a coupe le segment OB en E Soit F le point de la demi-droite OC tel que CF EB et C situé entre et F On note ri la rotation de centre et d'angle et r la rotation de centre A et d'angle - t On considère la transformation g r or Chttps epreuvesetcorriges com f a Déterminer les images des points et A par g b Démontrer que g est une rotation dont on précisera l'angle En déduire que les droites EF et OA sont perpendiculàires et que EF OA c Déterminer et construire l'image r ' de r par g La perpendiculaire à la droite OC passant par E coupe la droite AB en n a Démontrer que le triangle EnA est rectangle isocèle en n b En admettant que deux rotations de même angle qui co? ncident en un point sont égales et en utilisant la question 'a déduire le centre de la transformation g c Démontrer que les droites EF AC et sont concourantes en un point H qUI est l'orthocent du triangle OAE Soit G le point d'in tersection de la droite OE et r ' avec G t E a Démontrer que G est l'image de C par g ' Indiquer une construction de l'image D de B par g sans faire intervenir le point O PROBLEME points Pour tout enti r nat 're n n on considère la -- fonction dé ? IR par t' ln x - xX - ' -