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Cnc 2008 tsi maths 1 ROYAUME DU MAROC Ministere de l ? E ? ducation Nationale de l ? Enseignement Supe ?rieur de la Formation des Cadres et de la Recherche Scienti ?que Pre ?sidence du Concours National Commun E ? cole Nationale de l ? Industrie Mine ?ral

ROYAUME DU MAROC Ministere de l ? E ? ducation Nationale de l ? Enseignement Supe ?rieur de la Formation des Cadres et de la Recherche Scienti ?que Pre ?sidence du Concours National Commun E ? cole Nationale de l ? Industrie Mine ?rale ENIM Concours National Commun d ? Admission aux Grandes E ? coles d ? Inge ?nieurs ou Assimile ?es Session E ? PREUVE DE MATHE ? MATIQUES I Dure ?e heures Filiere TSI Cette e ?preuve comporte pages au format A en plus de cette page de garde L ? usage de la calculatrice est autorise ? CConcours National Commun ?? Session ?? TSI L ? e ?nonce ? de cette e ?preuve particuliere aux candidats de la ?liere TSI comporte pages L ? usage de la calculatrice est autorise ? Les candidats sont informe ?s que la qualite ? de la re ?daction et de la pre ?sentation la clarte ? et la pre ?cision des raisonnements constitueront des e ?le ?ments importants pour l ? appre ?ciation des copies Il convient en particulier de rappeler avec pre ?cision les re ?fe ?rences des questions aborde ?es Si au cours de l ? e ?preuve un candidat repere ce qui lui semble e tre une erreur d ? e ?nonce ? il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amene ? a prendre De ? ?nitions et notations Dans ce probleme R de ?signe l ? ensemble des nombres re ?els Par ??solution d ? une e ?quation diffe ?rentielle ? on fait re ?fe ?rence aux solutions a valeurs re ?elles de ? ?nies sur R Les trois parties du probleme sont largement inde ?pendantes seul le re ?sultat de la question de la premiere partie est utile pour la suite I Re ?sultats pre ?liminaires Soit h R ?? ? R continue telle que pour tout x y ?? R h x y h x h y on pose x H x h t dt x ?? R y a Montrer que pour tout x y ?? R h x t dt yh x H y b En de ?duire que pour tout x y ?? R H x y ?? H x ?? H y yh x c Exprimer de me me la quantite ? xh y x y ?? R d Justi ?er alors que pour tout re ?el x h x xh Soient I un intervalle de R x ?? I et f I ?? ? R continue pour tout x ?? I on pose x F x f t dt x a Justi ?er que F est de ?rivable sur I et pre ?ciser sa de ?rive ?e b Soit J un intervalle de R et soient u J ?? ? R v J ?? ? R deux fonctions de ?rivables a valeurs dans I On pose v x v x F x f t dt et