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La fonction exponentielle Chapitre La fonction exponentielle Le chapitre sur la fonction exponentielle est quasiment indissociable du chapitre suivant sur la fonction logarithme népérien I Dé ?nition de la fonction exponentielle Plus loin la fonction expo

Chapitre La fonction exponentielle Le chapitre sur la fonction exponentielle est quasiment indissociable du chapitre suivant sur la fonction logarithme népérien I Dé ?nition de la fonction exponentielle Plus loin la fonction exponentielle sera dé ?nie comme l ? unique fonction f dérivable sur R telle que f ?? f et f ? Nous n ? avons pas les moyens en terminale de démontrer l ? existence d ? une telle fonction et nous l ? admettrons Cependant nous pouvons prouver que si une telle fonction existe alors il n ? y en a qu ? une Le théorème suivant prépare la démonstration de l ? unicité en démontrant d ? abord qu ? une fonction véri ?ant ? ne s ? annule pas sur R Théorème Soit f une fonction dérivable sur R telle que f ?? f et f Alors pour tout réel x f x ? f ??x En particulier la fonction f ne s ? annule pas sur R Démonstration Soit f une fonction dérivable sur R telle que f ?? f et f Soit g la fonction dé ?nie sur R par pour tout réel x g x f x ? f ??x La fonction g est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x g ?? x f ?? x ? f ??x f x ? ?? ? f ?? ??x f ?? x f ??x ?? f x f ?? ??x f x f ??x ?? f x f ??x car f ?? f Ainsi la dérivée de la fonction g est nulle On sait alors que la fonction g est une fonction constante sur R Par suite pour tout réel x g x g f On a montré que pour tout réel x f x ? f ??x En particulier pour tout réel x f x ? f ??x ?? puis f x ?? Ainsi une fonction f telle que f ?? f et f ne s ? annule pas sur R On peut maintenant démontrer l ? unicité d ? une fonction véri ?ant ? Théorème Soient f et g deux fonctions dérivables sur R telles que f ?? f g ?? g f et g Alors f g Démonstration Soient f et g deux fonctions dérivables sur R telles que f ?? f g ?? g f et g D ? après le théorème la fonction g ne s ? annule pas sur R On peut donc poser h f g La fonction h est dérivable sur R en tant que quotient de fonctions dérivables sur R dont le dénominateur ne s ? annule pas sur R et pour tout réel x h ?? x f ?? x g x ?? f x g ?? x f x g x ?? f x g x g x g x La dérivée de h est nulle sur R La fonction h est donc constante sur R Par suite pour tout réel x