Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Lcigroupes corrige kholle 9

Lycée Pierre de Fermat MPSI TD Structures algébriques Lois de compositions internes Groupes Lois de compositions internes ? ? a b c ?? Exercice Soit E a b c un ensemble muni de la LCI ? dé ?nie par la table suivante a a c b b cba c bac Quelles sont les propriétés de la loi ? Résoudre les équations d ? inconnue x ?? E suivantes x ? b c b ? x ? a c x ? x a x ? x x ?? Exercice Soit E a b c d e f l ? ensemble des sommets d ? un hexagone régulier de centre O On dé ?nit une LCI sur E en posant pour tout x y ?? E x ? y z o? z est le sommet image de x dans la ré exion d ? axe Oy Dresser la table de loi de ? Quelles sont les propriétés de la LCI ? Résoudre les équations d ? inconnue x ?? E a ? x e x ? a e x ? x a x ? x x e ? x ? a c e ? x ? a c ?? Exercice Soit E un ensemble non vide Quelles sont les propriétés des LCI ?? et ?? sur P E Quelles sont les propriétés de la LCI ? di ?érence symétrique sur P E On pourra calculer pour tout A ?? P E A ? A A ? ? et A ? E Tout élément est-il symétrisable pour cette loi ?? Exercice Dans l ? anneau usuel Z ? on dé ?nit la loi ? par a ? b a b Calculer ? ? ? ? ? ? Quelles sont les propriétés de la loi ? associativité commutativité neutre F F F F a a On dé ?nit a n pour tout n ?? N ? par ??n ?? N ? an a ? a ? a ? ? a Exprimer a a F F a et a ? a n fois a Groupes Propriétés élémentaires des groupes ?? Exercice Union de sous-groupes Soient G ? un groupe H et K deux sous-groupes de G Montrer que H ?? K est un sous-groupe de G si et seulement si H ? K ou K ? H Ce résultat est à rapprocher du suivant soient E un K-espace vectoriel F et G deux sous-espaces vectoriels de E montrer que F ?? G est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F ? G ou G ? F ?? Exercice Intersection de sous-groupes Soient G ? un groupe I un ensemble quelconque et Hi i ??I une famille de sous-groupes de G Montrer que Hi est un sous-groupe de G ? i ??I ?? Exercice Soit G ? un groupe Montrer que l ? application ? G g ? ? G g ?? est une bijection ? est-il un morphisme de groupe C ?? Exercice Centre d ? un groupe Soit G ? un