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Intégrales Enoncé Magazine de Mathématique Niveau Bac Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax - www takiacademy com contact takiacademy com C CIntégrales Enoncé Magazine de Mathématique Niveau Bac www TakiAcademy com C ANALYSE Magazine Intégrales BAC EXERCICE N ' points Soit g la fonction dé ?nie sur ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? par g ??x ?? ? tan ??x ?? a Montrer que g admet une fonction réciproque dé ?nie sur Déterminer g ?? ?? ?? ?? ?? b Montrer que g ?? est dérivable sur et que pour tout x ? g ?? ?? x ?? ? ? x ? c En déduire la valeur de I ? ?? ? x dx ?? Soit ??In ?? la suite dé ?nie sur IN par In ? xn ? x dx a Montrer que la suite ??In ?? est décroissante En déduire qu ? elle est convergente b Montrer que pour tout n ? IN ? In ? n ? Déterminer alors la limite de ??In ?? c Montrer que pour tout n ? IN In ? ? In ? n ? a Véri ?er que pour tout réel x x x ? ? ?? x ? ? Calculer alors I et I b Soit f la fonction dé ?nie par f x ? x ? x x ? ?? Déterminer la valeur moyenne de f sur ?? ? EXERCICE N ' points ?? ?? ?? ?? ?? ?? On considère les suites ??In ?? et dé ?nie sur IN par In ? ??t n dt et Jn ? t ??t n dt Calculer I a Montrer que pour tout ? t ? on a ?? t ? b Montrer que pour tout n ? IN In ? ?? In ? ?? Jn c Montrer que la suite ??In ?? est décroissante en déduire qu ? elle est convergente ?? ?? a Déterminer une primitive de la fonction t t ?? t n b En déduire à l ? aide d ? une intégration par partie que Jn ? ??n ? ?? In ? c Montrer alors que pour tout n ? IN In ? ? ??n ? ?? n ? In d La courbe C ci-contre est la représentation graphique de la fonction f ?? ?? ?? ?? dé ?nie sur ?? ? par f ?? t ? ?? t Calculer le volume V du solide de révolution engendre par la rotation de C autour de l ? axe d ? abscisses Tél - Email contact takiacademy com CEXERCICE N ' points Soit f la fonction dé ?nie sur IR par f ?? x ?? ? ? x x ? On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O i j Montrer que I ?? ?? est un centre de symétrie pour C ?? ?? a Montrer que pour tout réel x f ' ?? x ?? ? x ? b Donner une équation cartésienne de la tangente à C d ?