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Maths CONCOURS COMMUN DES ÉCOLES DES MINES D ? ALBI ALÈS DOUAI NANTES Épreuve Spéci ?que de Mathématiques ?lière MPSI Vendredi mai de h à h Instructions générales Les candidats doivent véri ?er que le sujet comprend pages numérotées Les candidats sont inv

CONCOURS COMMUN DES ÉCOLES DES MINES D ? ALBI ALÈS DOUAI NANTES Épreuve Spéci ?que de Mathématiques ?lière MPSI Vendredi mai de h à h Instructions générales Les candidats doivent véri ?er que le sujet comprend pages numérotées Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l ? étiquette à code à barres correspondant à l'épreuve spéci ?que L ? emploi d ? une calculatrice est interdit Barème indicatif points pour chaque problème Premier problème I Etude d ? une fonction On considère la fonction numérique f de la variable réelle x dé ?nie par ? ?f ? x x e ?? x si x ?? ? ?f Etudier la continuité à gauche et à droite la dérivabilité à gauche et à droite de f en Etudier les limites et variations de f à résumer dans un tableau préciser les branches in ?nies CONCOURS COMMUN SUP DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI ALÈS DOUAI NANTES Épreuve spéci ?que de Mathématiques ?lière MPSI Page C Etudier la convexité préciser les points d ? in exion éventuels Tracer la courbe représentative C de cette fonction relativement à un repère orthonormal O G i G j unité cm On donne les valeurs approchées suivantes e ?? e ?? e On précisera les points remarquables utilisés II Calcul d ? aires Etant donné un nombre réel h h ?? déterminer l ? aire A h de la partie du plan limitée par l ? axe des abscisses la courbe C et les droites d ? équations x h et x En déduire l ? aire de la partie du plan limitée par l ? axe des abscisses la courbe C la droite d ? équation x et l ? axe des ordonnées c ? est à dire lim A h h ? III Résolution d ? une équation di ?érentielle Résoudre l ? équation di ?érentielle E x y ?? x ?? y sur chacun des intervalles ? et ?? ? Cette équation E a-t-elle des solutions sur Si oui les préciser IV Dérivées successives et polynômes associés Démontrer que f est de classe C ? sur ? Démontrer que pour tout n ?? il existe un polynôme Pn tel que ??x ?? ? f n x Pn x x n e ?? x et que Pn x x Pn ?? x ?? n x Pn x Calculer P P P P et P Calculer le degré le coe ?cient dominant et le terme constant de Pn On considère la fonction g telle que g x x f x Démontrer que g n f n Rappeler la formule de Leibniz relative à la dérivée n-ième d ? un produit de fonctions en indiquant les hypothèses En utilisant la formule de Leibniz pour calculer g n x démontrer que Pn x ?? n x Pn x ?? n n x Pn ?? x CONCOURS COMMUN