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- http maths cnam fr MVA Corrig ?e du devoir n CNAM - Paris Exercice f x y x ?? y x ?? y F F ? f F F F F F F F F ? x x x x x ?? x x ?? F F F F ? f F F F F ? y ?? y ?? y ?? y y ?? y y ?? ?? les couples M M ?? M ?? M ?? ?? ? f ? x x ? f ? y ?? y ?? ? f ? f ? x ? y ? y ? x rt ?? s x ??y ?? ?? x y Calculons rt ?? s M ?? ?? point col en M rt ?? s M ?? ?? et r M ?? M minimum local de f rt ?? s M ?? ?? et r M ?? ?? M maximum local de f rt ?? s M ?? ?? ?? ?? point col en M Exercice Df R f est le produit de fonctions de classe C ? sur R donc elle est C ? sur R De plus quand x y ? on a x ln y ? et y ln x ? donc f x y ? ?? on peut prolonger par continuit ?e en en posant f ? f ln y ?? y ? x x ? f x ?? ln x ? y y ? f ? x y x ? f x ? y ??y ? f ? f ?? x ?? y ? x ? y ? y ? x y x xy Page kalfaian cnam fr C On r ?esout le syst eme F F F F F F F F ln y ?? y x ie F F F F F F x y ?? ln x F F F F F F F F F F x ln y y y ln x x D ?eja on peut a ?rmer que x et y sont car si x on a x y y absurde et si y on a x absurde On voit aussi que le point M e e est solution car ln e On a ln y y x et ln x x y donc ln y ln x ce qui donne x y e On calcule rt ?? s y x x ?? y ?? ?? ?? ?? yx xy en e e rt ?? s e e e ?? e ?? e ?? e y x ?? xy ?? y ?? x xy Donc il y a un point col en M e e ? ? ? ? ? ? Page kalfaian cnam fr C